观测级马氏距离的分布

如果我有多元正态iid样本并定义（这是使用矩阵进行加权的从采样点到矢量的马氏距离[平方] ），的分布是什么（样本均值使用样本协方差矩阵）？ $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

我正在看一篇声称它是，但这显然是错误的：使用（未知）总体均值向量可以得到的分布和协方差矩阵。当插入示例类似物时，应该获得Hotelling分布或缩放的分布，或类似的东西，而不是。我在Muirhead（2005）或Anderson（2003）或Mardia，Kent和Bibby（1979，2003 ）中都找不到确切的结果。 $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ 。显然，这些人没有理会异常的诊断，因为多元正态分布是完美的，并且每次收集多元数据时都容易获得：-/。

事情可能比这更复杂。Hotelling分布结果是基于假设矢量部分和矩阵部分之间的独立性而得出的。这种独立性适用于和，但它不再适用于和。 $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ $S$

multivariate-analysis outliers

— 斯塔克
source

在的定义中，您是否仍将视为随机变量，或者现在将其视为固定向量？包括下标表明是后者，但这似乎有些奇怪。

d_{i}^{2}

$d_i^2$

X_{i}

$X_i$

— ub

只是一些现成的旁注，但请注意相对于是辅助的，而等于一个固定常数（应该肯定是或类似的值）。

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$

μ

$\mu$

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$

n - p

$n-p$

— 主教

@whuber-也许要强调它是使用样本中的观察值而不是新观察值计算的？

— jbowman 2012年

@whuber，大致按照jbowman所说的来表示-表示这是观察水平的统计信息（与样本水平的统计信息相对，例如样本均值）。

— StasK 2012年

的分布

是β，

，但我仍在寻找

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$ 。所述的分布

的不是独立的。

d_{i}^{2}

$d^2_i$

通过利用Mahalanobis距离（替代链接）来检查高斯混合模型。参见第13页，第二栏。作者也提供了一些推导分布的证据。分布按比例缩放。如果这不适合您，请告诉我。否则，我明天可以查看SS Wilks书中的任何提示。

— Vinux
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\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

$df=p$

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} \sim B e t a (\frac{p}{2}, \frac{(n - p - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$

x_{i}

$x_i$

(\frac{n d^{2} (n - p)}{(p (n - 1) (n + 1)}) \sim F (p, n - p)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— 乔·沙利文
source

L A T E X

$\LaTeX$

您可以为F公式提供参考吗？

— eyaler

一篇相关的参考资料，见Hardin，Johanna和David M. Rocke的第3节。2005.“稳健距离的分布”，计算与图形统计杂志14（4）：928–46。doi：10.1198 / 106186005X77685。

— 约瑟夫，