零相关混合模型理论上什么时候听起来正确？

下面的块引用来自混合效果建模领域的领导者，声称在随机效果之间零相关的模型（“ ZCP”模型）中协调模型的移动会更改模型预测。 但是，有人可以详细说明或进一步证明其主张吗？

有问题的陈述来自Bates等人在 2015年发表的论文lme4，使用lme4拟合线性混合效应模型，第7页，第二段（下载链接）。 $\newcommand{\slope}{\text{slope}} \newcommand{\int}{\text{int}} \newcommand{\intercept}{\text{intercept}}$

以下是他们所写内容的解释：

尽管零相关参数模型用于降低随机斜率模型的复杂性，但是它们具有一个缺点。允许斜率和截距具有非零相关性的模型对于连续预测变量的加法位移是不变的。

当相关性被限制为零时，这种不变性将分解。预测变量的任何变化必然会导致估计的相关性以及模型的可能性和预测发生变化。¹例如，我们可以简单地通过将Days [伴随的预测变量] 移位等于估算的对象间标准偏差乘以估算的相关性的比值即²来消除fm1中的相关性， $\slope$

$ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{slope}}{σ_{intercept}}$ $\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\slope}}{\sigma_{\intercept}}$
理想情况下，此类模型的使用应仅限于以比率比例尺测量预测变量的情况（即，比例尺上的零点是有意义的，而不仅仅是通过便利或惯例定义的位置）。

问题：

按照上面的上标编号...

我可以看到，用来测量预测变量的坐标系中的任何偏移都将导致估计的相关性发生变化，从而导致非零相关性。这支持这样的说法，即零相关参数模型在预测变量坐标系中的位移下不是不变的，因此，具有非零随机效应相关性的任何模型都可以通过适当的坐标偏移而转换为具有零相关性的模型。我认为它也支持上面解释的第三段：ZCP模型（和零截距模型-参见下文；但是请在此进行检查）仅适用于使用某些特殊坐标系的模型。 但是为什么要针对此类模型更改坐标预测呢？

例如，坐标的偏移也将更改组平均值的固定效果截距项（请参见下文），但仅更改与预测变量的坐标系的原点变化相称的量。只要将新的坐标系用于已移动的预测变量，此更改就不会影响模型预测。

详细地说，如果与移动的预测变量关联的固定效果斜率为正，并且预测变量坐标系的原点向负方向移动，则固定效果的截距将减少，并且任何相关的随机效应的截距也将更改相应地，在位移坐标系中反映了“原点”（因此是截距）的新定义。顺便说一句，我认为这种推理还意味着零截距模型在这种偏移下也不是不变的。

我认为我有一个合理的解决方案，但得出的答案与贝茨等人 略有不同。我在哪里出错了？

以下是我的答案。接下来是对我如何得出结果的描述。总而言之，我发现如果我将原点负移，那么在新坐标系中，预测变量取值，则新坐标系中的相关性如果为零，则为零： $x$ $\delta > 0$ $x' = x + \delta$ $\rho'$

$δ = ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{intercept}}{σ_{slope}}$ $\delta=\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\intercept}}{\sigma_{\slope}}$
这与贝茨等人的结果不同。

我的方法的说明（可选阅读）：假设我们具有两个随机效果的相关性，即和（简称），它们都对应于具有水平的相同分组因子（编号为，范围从至）。我们还说，与随机配对的连续预测变量称为，定义为使得乘积生成对水平的拟合值的条件贡献 $\slope$ $\intercept$ $\int$ $k$ $i$ $1$ $k$ $\slope$ $x$ $x\times\slope_i$ $\hat y_{obs}$ $i$ 相关的分组因子。尽管实际上MLE算法确定的值以使可能性最大，但我希望下面的表达式应该是确定均匀平移效果的尺寸正确方法，是的随机效果的乘数。。 $\rho$ $x$ $\slope$

ρ_{slope : int} = \frac{E_{i} [({slope}_{i} - \bar{{slope}_{i}}) ({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})]}{\sqrt{E_{i} [({slope}_{i} - \bar{{slope}_{i}})^{2}] E_{i} [({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})^{2}]}}

$\rho_{\slope:\int} = \frac{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})(\int_i -\overline {\int_i})\big]}{\sqrt{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})^2\big]E_{i}\big[(\int_i-\overline {\int_i})^2\big]}}$

为了得出我的结果，我首先用新的截距值重写了截距的旧值（此处，，即“向左'预测变量原点偏移）。然后，将结果表达式代入的上述公式的分子中，计算的值，该值在新坐标系中的协方差为零。请注意，如上面问题1所述，固定效果拦截项也将以类似的方式更改：。（这里 $\int' = -\delta \times \slope + \int$ $\delta > 0$ $x$ $\rho$ $\delta$ $\beta_0' =- \delta\times\beta_x + \beta_0$ $\beta_x$ 是与移位的预测变量相关联的固定效果预测变量） $x.$

r mixed-model lme4-nlme

— 克拉珀
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一些粗略的想法。如果（1）固定斜率发生变化或（2）随机斜率发生变化，就会发生变化。对于（1）：固定斜率可以看作是特定于群集的斜率的加权平均值，其中权重部分取决于估计的方差分量。省略协方差会更改var。估计，更改权重，更改固定斜率。对于（2）：随机斜率是与特定权重成比例的朝向固定斜率“缩小”的群集特定斜率。省略协方差会更改var。估计，改变收缩程度，改变随机斜率。

\hat{y}

$\hat{y}$

— Jake Westfall

我对此感到有些失望，@clarpaul。您可能只输入自己的答案。如果没有其他人回答，我将赏金给您。

— gung-恢复莫妮卡

感谢@gung，我的回答将与上面的“编辑”紧密结合。赏金会很好，但是我可能没有时间在它过期之前。我鼓励任何人接受我的“编辑”，如果他们同意基本的推理，并愿意花一些时间完善它们，可以将它们变成答案。

— clarpaul

这个问题的答案非常具有定义性。如果移动ZCP模型的自变量的坐标并以无约束的方式发展相关性，则预测不会改变，因为具有无相关性的线性混合效应模型是平移不变的（可以用一点数学来证明）。但是，根据定义，ZCP模型的相关性被约束为。在移动坐标时，不允许在无约束的LME模型中开发相关性。因此，ZCP模型不是平移不变的，坐标移动会 $0$ 更改模型预测。并且（如果您期望LME模型对于合理的坐标偏移是平移不变的），只有那些坐标偏移没有意义的模型在理论上才像ZCP模型一样合理（即，在解释的第三段中提到的“特殊”模型）的Bates等上文）。[注意：我将在将来完善这个答案，以包括我为协调移动初始ZCP模型时产生的相关性以及为不受约束的相关性的LME模型提供平移不变性的证明而得出的公式。
贝茨等人的结果仅仅是一个错字。答案的维数必须与已移动的预测变量（Days）相同。因为，wlog，和可以被认为是具有统一的尺寸，，其具有尺寸（相同的尺寸），必须在分母为了以具有正确的尺寸。 $\delta$ $x$ $\sigma_{intercept}$ $\rho$ $\sigma_{slope}$ $1/x$ $slope$ $\delta$

— 克拉珀
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