如何（数值）估算具有较大alpha和beta的beta分布的近似值

是否存在一种数值稳定的方法来计算大整数alpha，beta（例如alpha，beta> 1000000）的beta分布值？

实际上，如果使问题变得更容易，我只需要围绕模式设置99％的置信区间即可。

补充：对不起，我的问题没有我想的那么清楚。我想要做的是：我有一台检查传送带上产品的机器。这些产品的一部分被机器拒绝。现在，如果机器操作员更改某些检查设置，我想向他/她显示估计的废品率，以及一些有关当前估计的可靠性的提示。

因此，我认为我将实际拒绝率视为随机变量X，并根据拒绝对象N和接受对象M的数量计算该随机变量的概率分布。如果我假设X的先验分布均匀，则这是一个beta分布取决于N和M。我可以直接向用户显示此分布，也可以找到一个区间[l，r]，以便实际拒绝率在此区间内，且p> = 0.99（使用shabbychef的术语）并显示间隔。对于较小的M，N（即，在参数更改之后），我可以直接计算分布并近似间隔[l，r]。但是对于大的M，N，这种简单的方法会导致下溢错误，因为x ^ N *（1-x）^ M很小，可以表示为双精度浮点数。

我猜我最好的选择是对小M，N使用朴素的beta分布，并在M，N超过某个阈值后立即切换为具有相同均值和方差的正态分布。那有意义吗？

法线逼近效果非常好，尤其是在尾部。使用的平均和的方差α $\alpha/(\alpha+\beta)$。例如，在艰难的情况下（可能需要关注偏度），例如α=106，β=108时，尾部概率的绝对相对误差在0.00026附近达到峰值，而当您大于1 SD时，则小于0.00006。从中。（这不是因为β太大：α=β=106时，绝对相对误差的范围是$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2} (1+\alpha+\beta)}$$\alpha = 10^6, \beta = 10^8$$0.00026$$0.00006$$\alpha = \beta = 10^6$$0.0000001$。）因此，对于任何涉及99％间隔的目的，这种近似都是极好的。

根据对该问题的编辑，请注意，实际上并没有通过积分被积分来计算beta积分：当然，您会得到下溢（尽管它们并不重要，因为它们对积分的贡献不大） 。如Johnson＆Kotz（统计分布）中所述，有许多种方法可以计算积分或近似积分。可在http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx上找到在线计算器。您实际上需要此积分的逆函数。Mathematica网站（http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseBetaRegularized/）上记录了一些计算逆函数的方法。。代码在数字食谱（www.nr.com）中提供。Wolfram Alpha网站（www.wolframalpha.com）是一个非常不错的在线计算器：输入inverse beta regularized (.005, 1000000, 1000001)左端点和inverse beta regularized (.995, 1000000, 1000001)右端点（％间隔）。$\alpha=1000000, \beta=1000001$

一个快速的图形实验表明，当alpha和beta都很大时，beta分布看起来很像正态分布。通过谷歌搜索“正常的beta分布限制”，我发现http://nrich.maths.org/discus/messages/117730/143065.html?1200700623，这给了我们一个挥手的“证明”。

Beta分布的维基百科页面给出了平均值，众数（对于较大的alpha和beta，v接近平均值）和方差，因此您可以使用均值和方差相同的正态分布来得出近似值。是否足以满足您的目的取决于您的目的。

$[l,r]$$l$$r$$[l,r]$$\alpha, \beta$ $l$$r$ 作为不同的数字，因此这条路线可能就足够了。

$p$$p$$log(p/(1-p))$$min(\alpha,\beta) > 100$

例如

f <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    lor <- log(p/(1-p))
    ks.test(lor, 'pnorm', mean(lor), sd(lor))$p.value
}
summary(replicate(50, f(10000, 100, 1000000)))

通常会产生类似

摘要（重复（50，f（10000，100，1000000）））第一区 中位数均值第三区 最高 0.01205 0.10870 0.18680 0.24810 0.36170 0.68730

即典型的p值约为0.2。

$\alpha=100, \beta=100000$

但是对的分布进行了类似的检验$p$

f2 <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    ks.test(p, 'pnorm', mean(p), sd(p))$p.value
}
summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))

产生类似

summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
2.462e-05 3.156e-03 7.614e-03 1.780e-02 1.699e-02 2.280e-01 

典型的p值约为0.01

R qqnorm函数还提供了有用的可视化效果，生成了对数奇数分布的非常直观的图，表明近似正态分布，βdsitribute变量的分布产生了表明非正态性的独特曲线

$\alpha,\beta$