泊松与指数分布之间的关系

泊松分布的等待时间是带有参数lambda的指数分布。但是我不明白。例如，泊松（Poisson）对每单位时间的到达次数进行建模。这与指数分布有何关系？假设以时间为单位的k到达概率为P（k）（由泊松建模），k + 1的概率为P（k + 1），那么指数分布如何建模它们之间的等待时间？

我将使用以下表示法尽可能地与Wiki保持一致（以防您想在我的答案与Poisson和指数的Wiki定义之间来回切换）。

$N_t$：在时间段的到达次数$t$

$X_t$：假设某人在时间到达，则另一到达到达的时间$t$

根据定义，以下条件是等效的：

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

左边的事件捕获在时间间隔中没有人到达的事件，这意味着我们在时间处的到达次数的计数与在时间处的计数相同，即右边的事件。$[t,t+x]$$t+x$$t$

根据补码规则，我们还有：

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

使用上面描述的两个事件的等价关系，我们可以将以上内容重写为：

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

但，

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

使用上面的泊松pmf，其中是每个时间单位的平均到达次数，是时间单位的数量，可简化为：$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

即

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

用我们的原始eqn，我们有：

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

上面是指数pdf的cdf。

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$（累积分布函数）。我们可以通过对此求导来获得密度函数：

具有这种密度函数的任何随机变量都被称为呈指数分布。

其他答案很好地解释了数学。我认为考虑物理示例会有所帮助。当我想到泊松过程时，我总是回到汽车在道路上通过的想法。Lambda是每单位时间通过的平均汽车数量，例如60 /小时（lambda = 60）。但是，我们知道实际数量会有所不同-多几天，少几天。泊松分布使我们可以对这种可变性进行建模。

现在，平均每小时有60辆汽车，相当于每分钟平均经过1辆汽车。同样，我们知道两次到达之间的时间会有所不同：有时超过1分钟；其他时间更少。指数分布使我们可以对这种可变性进行建模。

话虽这么说，在路上经过的汽车并不总是遵循泊松过程。例如，如果有一个交通信号指日可待，到来的人会聚集而不是稳定。在开放的高速公路上，慢速的拖挂车可能会拖长车行，从而再次造成捆扎。在这些情况下，泊松分布可能仍可以在更长的时间段内正常工作，但是指数模型在建模到达时间时将严重失败。

还要注意，一天中的时间会有很大的差异：通勤时间比较忙；凌晨3点慢得多。确保您的lambda反映了您正在考虑的特定时间段。

泊松分布通常从二项分布（均为离散）得出。您可以在Wiki上找到。

但是，泊松分布（离散）也可以从指数分布（连续）导出。

我已将证明添加到Wiki（下面的链接）：

https://zh.wikipedia.org/wiki/谈话：泊松分布/ Archive_1＃Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution