如何在R中拟合像的回归？

我有一些时间序列数据，其中测得的变量是离散的正整数（计数）。我想测试一下是否随着时间的推移出现上升趋势（或没有）。自变量（x）的范围是0-500，因变量（y）的范围是0-8。

我以为我可以通过y = floor(a*x + b)使用普通最小二乘法（OLS）拟合形式的回归来回答这个问题。

我将如何使用R（或Python）执行此操作？是否有现有的程序包，还是最好编写自己的算法？

PS：我知道这不是理想的技术，但是我需要做一个我可以理解的相对简单的分析-我的背景是生物学而不是数学。我知道我违反了有关测量变量误差以及测量随时间变化的独立性的假设。

您可以使用中的nls（非线性最小二乘）函数拟合您所陈述的模型R，但是正如您所说的那样，这将违反许多假设，而且可能仍然没有多大意义（您说的是预测结果在一个步骤中是随机的函数，而不是围绕平稳增长关系的整数值）。

拟合计数数据的更常见方法是使用帮助中的glm函数进行R泊松回归，帮助页面上的第一个示例是泊松回归，但是如果您不太熟悉统计信息，最好咨询统计学家以确保您做事正确。

如果8的值是绝对最大值（不可能看到更高的计数，而不仅仅是您看到的），那么您可以考虑按比例赔率进行逻辑回归，对于R，您可以在软件包中使用以下几种工具如果您想这样做，确实应该让统计学家参与。

$\def\lf{\lfloor}\def\rf{\rfloor}\def\pnorm{\mathrm{pnorm}}$很明显，格雷格的建议是第一件事：泊松回归是许多具体模型中的自然模型情况。

但是，您建议的模型可能会出现，例如，当您观察到四舍五入的数据时： 具有iid正常错误。

$$Y_i = \lf ax_i + b + \epsilon_i \rf,$$ $\epsilon_i$

我认为看看可以用它做什么是很有趣的。我用表示标准正态变量的cdf。如果，则 使用熟悉的计算机符号。$F$$\epsilon \sim \mathcal N(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \mathbb P\left(\lf ax + b + \epsilon \rf = k\right) &= F\left({k-b+1-ax\over \sigma}\right) - F\left({k-b-ax\over \sigma}\right)\\ &= \pnorm(k+1-ax-b,sd=\sigma) - \pnorm(k-ax-b,sd=\sigma),\end{align*}$$

您观察到数据点。对数似然由 这与最小二乘法不同。您可以尝试使用数值方法使其最大化。这是R中的插图：$(x_i,y_i)$

$$\ell(a,b,\sigma) = \sum_i \log\left( F\left({y_i-b+1-ax_i\over \sigma}\right) - F\left({y_i-b-ax_i\over \sigma}\right) \right).$$

log_lik <- function(a,b,s,x,y)
  sum(log(pnorm(y+1-a*x-b, sd=s) - pnorm(y-a*x-b, sd=s)));

x <- 0:20
y <- floor(x+3+rnorm(length(x), sd=3))
plot(x,y, pch=19)
optim(c(1,1,1), function(p) -log_lik(p[1], p[2], p[3], x, y)) -> r
abline(r$par[2], r$par[1], lty=2, col="red")
t <- seq(0,20,by=0.01)
lines(t, floor( r$par[1]*t+r$par[2]), col="green")

lm(y~x) -> r1
abline(r1, lty=2, col="blue");

在红色和蓝色中，分别通过此可能性的数值最大化和最小二乘找到的线。绿色楼梯为从最大似然发现......这表明，你可以使用最小二乘法，最多的译文 0.5，并得到大致相同的结果; 或者，最小二乘方很好地拟合了模型 其中是最接近的整数。经常遇到四舍五入的数据，以至于我确信这是已知的，并且已经进行了广泛的研究。$ax+b$$\lf ax +b\rf$$a,b$$b$

$$Y_i = [ a x_i + b +\epsilon_i],$$ $[x] = \lf x + 0.5 \rf$