对于非整数形状参数的Gamma分布是否还有另一种解释？

众所周知，以整数形状参数在Gamma分布的随机变量等于正态分布的随机变量的平方和。 $k$ $k$

但是，对于非整数的伽玛分布随机变量，我能说什么呢？除了伽马分布以外，还有其他解释吗？ $k$

probability gamma-distribution

— 偷窃
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形状参数为伽玛是正态分布随机变量的平方和。形状参数为伽玛是 iid指数分布的总和。

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker

对具有整数的伽马的另一种解释：它是直到第次到达强度为的一维Poisson过程的等待时间。

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa，2013年

如果和是独立的，则特别是，如果，则以与对于任何。（此属性称为无穷除数。）这意味着，如果如果不是整数，则具有与相同的分布，并且独立于和 $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$ 这也意味着整数值形状对Gammas没有特殊意义。

α

$\alpha$

相反，如果具有，则当独立于时，它与分布相同和，因此分布在是不变的 $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— 西安
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