我正在学习拉里·瓦瑟曼(Larry Wasserman)关于统计学的讲义,该讲义以卡塞拉(Casella)和伯格(Berger)为主要教材。我正在研究他的讲义集2,并陷入了霍夫丁不等式中使用引理的推论(第2-3页)。我将在下面的注释中复制证明,在证明之后,我将指出我被卡在的地方。
引理
假设,并且。然后
。E(X)=0a≤X≤bE(etX)≤et2(b−a)2/8
证明
由于,我们可以写为的凸组合和,即
其中。通过函数凸性,我们得到a≤X≤bXabX=αb+(1−α)aα=X−ab−ay→ety
etX≤αetb+(1−α)eta=X−ab−aetb+b−Xb−aeta
取得双方的期望并使用事实来获得E(X)=0
E(etX)≤−ab−aetb+bb−aeta=eg(u)
其中u=t(b−a),g(u)=−γu+log(1−γ+γeu)和γ= − a /(b − a )。注意,G(0 )= g′(0 )= 0。对于所有u> 0也是g ^ {''}(u)\ le 1/4。G′(û )≤ 1 / 4u > 0
根据泰勒定理,有一个ε ∈ (0 ,Û )使得
G(u )= g(0 )+ Ü 克′(0)+u22g′′(ε)=u22g′′(ε)≤u28=t2(b−a)28
因此Ë( èŤ X)≤ ËG(你)≤ èŤ2(b − a )28。
我可以遵循证明直到
u,g(u),γË( èŤ X)≤ - 一b − aËŤ b+ bb − aËŤ 一= eG(你)
但我无法弄清楚如何获得。ü ,g ^(u ),γ