帮助我了解分位数（CDF逆函数）

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我正在阅读有关分位数功能的信息，但我不清楚。您能否提供比以下提供的更为直观的解释？

由于cdf 是单调递增的函数，因此它具有反函数。让我们用来表示。如果是的CDF ，然后是的值，使得 ; 这称为的分位数。值 $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ 是分布的中位数，概率质量的一半在左侧，一半在右侧。值和是下和上四分位。 $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

distributions cdf inverse-cdf quantile-function

— 内德吉尔
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您应该学习使用数学标记，请参阅我的编辑！

— kjetil b halvorsen '16

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这是在一定程度上进行简要解释的模型，并且已经包含示例。目前尚不清楚您要寻求哪种解释水平。答案可能比此答案长10倍，具体取决于您不知道的内容。例如，您知道CDF吗？您知道“单调增加”是什么意思吗？你知道逆函数是什么吗？我们只是第一句话的一部分。您的问题等同于您不了解（全部）的陈述，尽管我们没有理由怀疑您，但这根本不是一个精确的问题。

— 尼克·考克斯

Answers:

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所有这些乍一看可能很复杂，但本质上是非常简单的事情。

通过累积分布函数，我们表示返回 $X$ 概率小于或等于某个值 $x$ ，

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

此函数将用作输入，并返回间隔（概率）中的值-将它们表示为。累积分布函数（或分位数函数）的逆函数告诉您使返回某个值， $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

在下图中以正态累积分布函数（及其反函数）为例进行了说明。

例

作为一个简单的示例，您可以采用标准的Gumbel分布。其累积分布函数为

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

它可以很容易地反转：回想自然对数函数是指数函数的逆，因此，很明显，用于Gumbel分布的分位数函数是

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

如您所见，分位数函数根据其替代名称“反转”了累积分布函数的行为。

广义逆分布函数

并非每个函数都有逆函数。这就是为什么您引用的语录说“单调递增函数”。回想一下，从函数的定义来看，它必须为每个输入值精确分配一个输出。连续随机变量的累积分布函数满足此属性，因为它们是单调递增的。对于离散随机变量，累积分布函数不连续且不连续，因此我们使用需要不减小的广义逆分布函数。更正式地说，广义逆分布函数定义为

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

该定义翻译成普通的英语，它表示对于给定的概率值，我们正在寻找，导致返回的值大于或等于，但由于可能存在多个满足此要求的值条件（例如对任何都是true ），因此我们取其中最小的。 $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

无反函数

通常，对于可以为不同输入返回相同值的函数，例如密度函数（例如，标准法线密度函数是对称的，因此它对和等返回相同的值）没有反函数。由于另一个原因，正态分布是一个有趣的示例-它是不具有闭合形式逆的累积分布函数的示例之一。并非每个累积分布函数都必须具有闭合形式的逆函数！希望在这种情况下可以使用数值方法求逆。 $-2$ $2$

用例

分位数函数可用于随机生成，如反变换方法如何工作中所述？

— 蒂姆
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直到倒数第二段为止，这个答案一直有效。到您到达那里时，您已经断言每个连续CDF都有一个逆，但是随后您似乎提供了正态分布作为该正则表达式的反例。这可能非常令人困惑。

— ub

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@whuber，您是对的，添加了一个句子使其更清楚。

— 添

2

蒂姆，我又添加了一个词来使它更加清晰：)

— 变形虫说恢复莫妮卡

@Tim很好的答案，但是您能否阐明反CDF吗？正如您提到的，我们问将使。我理解部分如下。由于cdf是单调递增的，因此有许多值都满足但是将给出最大下限，即，固定唯一点，并以此定义广义逆。这有意义吗？

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$

— 亚历山大·斯卡

@AlexanderCska是的，基本上，多个F（x）值大于u，因此我们取下限，“满足此条件的最小值”。

— 蒂姆

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蒂姆有一个非常彻底的答案。做得好！

我想再说一遍。并非每个单调递增的函数都具有反函数。实际上，只有严格单调递增/递减的函数才具有反函数。

对于不是严格单调增加的单调增加的cdf，我们有一个分位数函数，也称为反累积分布函数。您可以在此处找到更多详细信息。

逆函数（对于那些严格增加cdf的函数）和分位数函数（对于那些单调增加但不是严格单调增加的cdfs）都可以表示为，这有时会造成混淆。 $F^{-1}$

— 李廷光
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