置信区间为两个比例之比

我有两个比例（例如，控件布局中的链接上的点击率（CTR）和实验布局中的链接上的CTR），我想围绕这些比例的比率计算95％的置信区间。

我该怎么做呢？我知道我可以使用增量法来计算该比率的方差，但是我不确定除此之外该怎么办。我应该使用什么作为置信区间的中点（我的观察比率或不同的预期比率），以及应该在该比率周围取多少标准偏差？

我是否应该完全使用增量方法方差？（我真的不在乎方差，只是在一个置信区间内。）是否应该使用案例1的Fieller定理（因为我正在做比例，所以我猜我满足了正态分布的要求）？我应该只计算引导程序样本吗？

confidence-interval

— 菜丁
source

您有一个基本问题：大多数比例的正机会为零，因此（独立比例）的比率为正的机会是不确定的。这可能会给近似方法（如增量方法）带来严重困难，并建议应比平时更谨慎地看待正常近似，并进行更严格的测试。

— ub

Joseph L. Fleiss，Bruce Levin，Myunghee Cho Paik：利率和比例的统计方法[1]讨论了相对风险，这是两个利率的商。我没有这本书，所以我只能按主题索引和目录浏览，但也许您的图书馆有。[1]：onlinelibrary.wiley.com/book/10.1002/0471445428

— cbeleites支持Monica

百分位数引导程序肯定是最好的方法吗？

— 彼得·埃利斯

在流行病学中进行此操作的标准方法（通常将比例比例称为风险比例）是先对比例进行对数转换，使用delta方法并假设正态分布，以对数刻度计算置信区间，然后变回去。在中等样本量下，此方法比在未转换的规模上使用delta方法更好，尽管如果任一组中的事件数很小，它将仍然表现不佳，而如果任一组中没有事件，则其将完全失败。

如果存在次的成功两组出总计和，则比例的比例明显的估计是 $x_1$ $x_2$ $n_1$ $n_2$

\hat{θ} = \frac{x_{1} / n_{1}}{x_{2} / n_{2}} .

$\hat\theta = \frac{x_1/n_1}{x_2/n_2}.$

使用增量法和假设两个组是独立的和成功的二项分布，可以表明，利用这一平方根给出了标准误差。假定是正态分布，对于95％置信区间

Var (\log \hat{θ}) = 1 / x_{1} - 1 / n_{1} + 1 / x_{2} - 1 / n_{2} .

$\operatorname{Var}(\log \hat\theta) = 1/x_1 - 1/n_1 +1/x_2 - 1/n_2.$

SE (\log \hat{θ})

$\operatorname{SE}(\log \hat\theta)$

\log \hat{θ}

$\log \hat\theta$

\log θ

$\log \theta$ 是

\log \hat{θ} \pm 1.96 SE (\log \hat{θ}) .

$\log \hat\theta \pm 1.96 \operatorname{SE}(\log \hat\theta).$

θ

$\theta$

\hat{θ} \exp [\pm 1.96 SE (\log \hat{θ})] .

$\hat\theta \exp\left[ \pm1.96 \operatorname{SE}(\log\hat\theta)\right].$

— 1站
source

n_{1}

$n_1$

n_{2}

$n_2$

n_{1} p_{1}

$n_1 p_1$

n_{2} p_{2}

$n_2 p_2$

10

$10$

x_{2} = 0

$x_2=0$ and

x_{i} = n_{i}

$x_i=n_i$ . It turns out both issues can be addressed with a continuity-correction-like approach: add

1 / 2

$1/2$ to both the

x_{i}

$x_i$ , add

1

$1$ to both the

n_{i}

$n_i$ , and proceed. Then this CI is surprisingly good provided both of the

p_{i} n_{i}

$p_i n_i$ are

4

$4$ or greater, regardless of the sizes of the

n_{i}

$n_i$ 。

— Whuber

@whuber：“类似连续性校正的方法”-使用1/2特别常见吗？（与其他一些小伪计数相对。）您的发音方式使1/2声音在某种程度上具有原则性=）-是吗？

— raegtin 2012年

有趣的问题，raegtin。在这种情况下，否：我尝试找到合适的起始值（这就是“事实证明”的含义）。1/2不是普遍有效；对于某些组合

x_{i}

$x_i$ 和

n_{i}

$n_i$ ，其他值会稍微好一些。对估计量分布的理论研究可能会提出不同的起始值。

— Whuber

Why is square-root of variance standard error in this case, not standard deviation?

— Mikko

@onestop Is this implemented in any R package?

— Bogdan Vasilescu