为了最大程度地正确猜测抛硬币的结果，我是否应该始终选择最可能的结果？

这不是功课。我有兴趣了解我的逻辑是否适合此简单的统计问题。

假设我有一个2面硬币，翻转头部的概率为，翻转末端的概率为。假设所有翻转都有独立的概率。现在，假设我想最大程度地预测下一次翻转时硬币是正面还是反面的机会。如果，则我可以随机猜测正面或反面，而我正确的可能性为。 $P(H)$ $1-P(H)$ $P(H) = 0.5$ $0.5$

现在，假设，如果我想最大化我正确猜测的机会，我是否应该总是猜测概率为尾巴？ $P(H) = 0.2$ $0.8$

如果我有一个3面模具，并且将1、2或3滚动的概率为，和，则进一步采取这一步骤，我是否应该总是猜2以最大程度地提高正确猜的机会？还有另一种方法可以让我更准确地猜测吗？ $P(1)=0.1$ $P(2)=0.5$ $P(3)=0.4$

probability

— 龟
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在我看来，您在询问独立性：例如，如果您一次获得头脑，这是否会使下一次出现“尾巴”的可能性更大？如果这不是您要的内容，您能否澄清您的问题？（如果我正确理解了您的问题，答案是“是”：在

— 抛

感谢@arboviral的帮助。是的，我假设自己是独立的。我已经更新了问题以表明这一点。

— 乌龟

假设独立是您最好的选择，那就是选择概率最高的一方。这样想吧。您没有其他信息可以做出更好的猜测。您只知道骰子多久出现一次以及最后几对掷出什么。但是独立性告诉您，前几行对当前抛出没有影响。也许您有更多信息，例如用来掷骰子的力量，左手/右手投掷器或掷骰前的摇动次数。但是，如果骰子真的很公平，我怀疑即使是详细程度也会提供更好的预测。

— 布伦特·费里尔

您的猜测是正确的；这是Holder不等式（带有参数）的直接结果。

(1, \infty)

$(1, \infty)$

— ub

您知道P（H）= 0.2吗？还是您必须通过观察结果来解决？

— Akavall '16

Answers:

你是对的。如果，并且您使用的是零损失（也就是说，您需要猜测实际结果而不是概率或其他东西，此外，当您猜到尾巴时获得正面收益与当您猜到头时会碰到尾巴），您应该每次都猜到尾巴。 $P(H) = 0.2$

人们通常会错误地认为答案是猜测随机选择的80％试验中的尾巴，而其余试验中的头正。这种策略称为“ 概率匹配 ”，并且已经在行为决策中进行了广泛的研究。例如，参见

West，RF，和Stanovich，KE（2003）。概率匹配明智吗？概率选择与认知能力之间的关联。记忆与认知，31，243–251。doi：10.3758 / BF03194383

— Kodiologist
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+1为指向概率匹配的指针。以前从未听说过，尽管我确定我每天都会利用它作为认知偏见！:)

— leekaiinthesky

（+1）这与解释多项式回归模型等时的常见误解有关：人们可能会惊讶地发现预测类的分布与观察到的类的分布不匹配，甚至为“修复”它的方法而苦恼。（很高兴知道它的名字。）

— Scortchi-恢复莫妮卡

（+1）表示“概率匹配”。

— 海涛杜

您实质上是在问一个非常有趣的问题：我应该使用“ MAP贝叶斯”预测最大后验估计还是“真实贝叶斯”进行预测。

假设您知道的真实分布，然后使用MAP估计，假设您要对下100个翻转结果进行100个预测。您应该总是猜想翻转是尾巴，而不是猜测头和尾巴。这就是所谓的“ MAP贝叶斯”，基本上你在做 $P(H)=0.2$ $20$ $80$

\arg max_{θ} f (x | θ)

$\arg\max_ \theta f(x|\theta)$

不难证明，这样做可以最大程度地减少预测误差（0-1损失）。可以在《统计学习简介》的第53页中找到该证明。

有另一种方法称为“真实贝叶斯”方法。基本上，您并不是在尝试“选择概率最高的结果，而是概率性地考虑所有情况”，因此，如果有人要求您“预测接下来的100次翻转”，则应该暂停他/她，因为当您给出100个二进制结果时，每个结果的概率信息都消失了。相反，您应该问，知道结果之后要做什么。

假设他/她有一些损失函数（例如0-1损失不是必须的，损失函数可以是，如果您错过了头，则需要支付1 美元，但是如果您错过了尾部，则需要支付5 美元，即损失不平衡），那么您应该利用对结果分布的了解，将整个分布中的损失降到最低

\sum_{x} \sum_{y} p (x, y) L (f (x), y)

$\sum_x \sum_y p(x,y) L(f(x),y)$

，即，将您对损失分配的知识纳入考虑范围，而不是采用“分阶段的方式”，以获得预测并执行下一步。

此外，您对许多可能的结果会产生什么样的结果有很好的直觉。如果结果的数目很大并且概率质量分布广泛，则MAP估计将无法很好地进行。考虑一下您有100个骰子，您知道真正的分布。其中，。现在，您如何使用MAP？您总是会猜到您得到了第一面，因为与其他面相比，它具有最大的概率。但是，您会在的时间内犯错！ $P(S_1)=0.1$ $P(S_2)=P(S_3)=P(S_{100})=0.9/99=0.009090$ $S_1$ $90\%$

— 海涛都
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MAP也是贝叶斯。此外，您在描述这两种方法时都没有提到使用先验，这可能会引起误解，因为您正在撰写贝叶斯方法，而先验是这些方法的核心功能。

— 添

“因此，如果有人要求您“预测接下来的100次”翻转，您应该拒绝这样做。如果有人以正确的预测向我提供了10亿欧元，我可能不会拒绝。或者，您说的“预测”与“尝试猜测”的含义不同。

— JiK

“当您给出100个二进制结果时，每个结果的概率信息就会消失”首先，我将其读为“当您给出 100个二进制结果时”，无法理解该句子，但是现在我意识到这可能意味着“当您给出 100个二进制结果”。哪个是正确的，如果是第一个，这意味着什么？

— JiK

一个非常小的要点：我可能会在第二段之后添加一条垂直线，以指示前两段在技术上足以回答字面问题，而其余的则是一些附加信息（无疑是有趣且有用的）。

— JiK

在最后一段中：“如果结果数量很多，MAP估计将无法正常工作。--但是，您90％的情况都会出错！” 运作不佳始终是上下文问题。例如，如果这是重复的下注游戏（将彩池分配给正确猜对的人，或者如果没有人猜对，则归还），如果您与例如猜他们的人对战，那么从长远来看，MAP策略势必会赢得很多钱从结果的分布。

— JiK

由于独立性，如果您猜测最可能的情况，则期望值始终会最大化。没有更好的策略，因为每次掷骰/掷骰不会给您有关硬币/骰子的任何其他信息。

在您猜到不太可能的结果的任何地方，您对获胜的期望都比您对最可能的情况的猜测要少，因此，最好仅对最可能的情况进行猜测。

如果您想做到这一点，而确实需要在翻转时更改策略，则可以考虑使用硬币/骰子，最初您不知道赔率，并且在滚动时必须弄清楚它们。

— 打击者
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对我来说，这个答案是最简单的解释；如果您必须考虑以前的结果来定义策略，则可以打破“独立”概率。

— Walfrat