如何用非参数测试（例如排列测试）测试交互作用？

我有两个类别/名义变量。它们每个只能采用两个不同的值（因此，我总共有4种组合）。

每个值组合都带有一组数字值。因此，我有4组数字。为了更具体，让我们说我有male / female和young / old作为标称变量，而我有weight从属数字“输出”。

我知道从过渡male到female会改变平均体重，而这些变化在统计上是有意义的。因此，我可以计算一个gender因子。这同样适用于age变量。我知道，从过渡young到old不改变平均重量，我可以计算出相应的age系数。

现在，我真正想看看的是数据是否证明从年轻女性到老年男性的转变更多地是性别和年龄因素的结合。换句话说，我想知道数据是否证明存在“ 2D效果”，或者换句话说，年龄和性别效果不是独立的。例如，男性变老可能会使体重增加1.3倍，而女性则相应增加1.1倍。

当然，我可以计算两个提到的因素（男性的年龄因素和女性的年龄因素），它们是不同的。但是我想计算出这种差异的统计意义。这种差异有多真实。

如果可能的话，我想做一个非参数测试。是否可以通过混合四组，重新组合，重新拆分和计算某些东西来做我想做的事情。

有用于交互的非参数测试。粗略地说，您可以按等级替换观察到的权重，并将所得数据集视为异方差方差分析。请看Brunner和Puri（2001）的“析因设计中的非参数方法”。

但是，您无法通过这种概括性显示您感兴趣的非参数交互类型。你说：

换句话说，我想知道数据是否证明存在“ 2D效果”，或者换句话说，年龄和性别效果不是独立的。例如，男性变老可能会使体重增加1.3倍，而女性则相应增加1.1倍。

后者是不可能的。非参数交互作用必须涉及符号变化，即变老会增加男性体重，但会降低女性体重。即使单调变换权重，也仍会保持这种符号变化。但是您可以在数据上选择单调变换，以将权重增加1.1映射为您想要的1.3。当然，如果差异可以达到您想要的程度，您将永远不会表现出显着的差异。

如果您真的对没有符号更改的交互感兴趣，则应坚持常规的参数分析。在那里，不允许“吞噬差异”的单调变换。当然，通过对统计数​​据进行建模和解释，这也是要记住的一点。

如果您认为的年龄和性别的影响不仅仅是各自的效果，你可以考虑在模型该$weight_i = \alpha \cdot age_i + \beta \cdot gender_i + \gamma \cdot (gender_i\cdot age_i).$$\gamma$系数捕获年龄和性别的“ 2D”效应的大小。您可以检查的t统计量，以大致了解模型中观察到的γ是否明显不同于γ = 0。$\gamma$$\gamma$$\gamma = 0$

这里是一个非常粗略的图形例子来说明这个附加的乘积项什么一样。$gender_i\cdot age_i$

在模型，我们实质上试图将简单的超平面拟合到数据$response = x_1 + x_2$

该模型在协变量中是线性的，因此您在上图中看到的线性形状。

在另一方面，模型是非线性的在X 1和X 2，并因此允许曲率一定程度$response = x_1 + x_2 + x_1\cdot x_2$$x_1$$x_2$

无法拒绝的假设就像无法拒绝模型中这种形式的曲率。$\gamma = 0$

就非参数测试而言，您可以通过获取自举标准误差，按照建议的方式进行操作。这意味着，几次你：1）更换取样资料，2）重新计算线性模式，3）得到的估计γ。之后，你有很多的估计γ，可以使用50 ± p ％分位数建立一个非参数2 p ％的置信区间γ。有关更多信息，请谷歌“引导标准错误”。$\gamma$$\hat{\gamma}$$\hat{\gamma}$$50 \pm p\%$$2p\%$$\gamma$

正如其他人指出的那样，这可以通过交互作用线性建模。您正在交互两个虚拟对象，对此没有任何非线性。给定模型： 的“性别”边际效应是偏导数：

看看性别和年龄只能取0或1的值，我们实际上只是在看四个不同群体在均值上的差异吗？也就是说，我们只有四种不同的组合可以插入上述等式：（1）且a g e = 0，（2）g e n d e r = 1且a g ë = 1，（3）克è ñ d Ê - [R = 0和一克$gender = 0$$age=0$$gender = 1$$age = 1$$gender = 0$，和（4）克ë Ñ d ë [R = 1和一个克ë = 0。因此，您的特定示例等效于四个组均值之间的比较。$age = 1$$gender = 1$$age = 0$

进行讨论以了解以上内容如何等同于具有两个相互关联的名义变量的方差分析也可能会有所帮助。作为重申这一事实的另一种方式，（同样，因为年龄和性别只有四种可能的组合），我们还可以指定一个如下所示的模型，而无需明确的交互项：

凡被省略作为您的参考类别，例如，系数b 1是o l d之间的均值差。˚F Ë 中号一升ë和ÿ ö ü Ñ 克。中号一升ë。其中截距α也将等于o l d内的平均值w t 。˚F $old.female$$b_1$$old.female$$young.male$$\alpha$$wt$（再次，参考类别）。$old.female$

使用您自己的数据进行尝试。使用具有相互作用的线性模型，具有相互作用的ANOVA或对没有相互作用的每个组使用虚拟变量，您将获得相同的结果。太酷了吧？一本统计书可能会在不同的章节中讨论这些方法中的每一种但是，所有道路通往罗马。确实，了解它如何与您自己的数据一起工作是最好的学习方法之一。 $\dots$

因此，以上示例是得出此结论的一种过于复杂的方法（我们实际上只是在比较四个组均值），但是对于了解交互作用的工作方式，我认为这是一个有益的练习。在CV上还有其他一些很好的文章，涉及将连续变量与名义变量交互或将两个连续变量交互。即使您的问题已经过编辑以指定非参数检验，但我认为还是可以从更常规的方法（即参数化）来思考问题，因为大多数用于假设检验的非参数方法具有相同的逻辑，但通常关于特定分布的假设更少。

$wt$

$old.men$$young.women$

暂时忽略“重大”交互

$x_1$$x_2$$x_1$$x_2$但是再一次，如果我们只有两个只能取0或1的协变量，那意味着我们实际上是在看四个组均值。

工作实例

让我们将交互模型的结果与Dunn检验的结果进行比较。首先，让我们生成一些数据，其中（a）男性比女性重，（b）较年轻的男性轻，并且（c）较年轻的女性与老年的女性没有区别。

set.seed(405)
old.men<-rnorm(50,mean=80,sd=15)
young.men<-rnorm(50,mean=70,sd=15)
young.women<-rnorm(50,mean=60,sd=15)
old.women<-rnorm(50,mean=60,sd=15)
cat<-rep(1:4, c(50,50,50,50))
gender<-rep(1:2, c(100,100))
age<-c(rep(1,50),rep(2,100),rep(1,50))
wt<-c(old.men,young.men,young.women,old.women)
data<-data.frame(cbind(wt,cat,age,gender))
data$cat<-factor(data$cat,labels=c("old.men","young.men","young.women","old.women"))
data$age<-factor(data$age,labels=c("old","young"))
data$gender<-factor(data$gender,labels=c("male","female"))

$wt$

mod<-lm(wt~age*gender,data)
library(effects)
allEffects(mod)

 model: wt ~ age * gender

 age*gender effect
       gender
age         male   female
  old   80.61897 57.70635
  young 67.78351 56.01228

需要为边际效应计算标准误差或置信区间吗？上面提到的“效果”包可以为您做到这一点，但更好的是，Aiken和West（1991）为您提供了公式，即使是对于更复杂的交互模型也是如此。他们的表方便地打印在这里，由马特·戈尔德非常好的评论一起。

现在执行邓恩的测试。

#install.packages("dunn.test")
dunn.test(data$wt, data$cat, method="bh")

Kruskal-Wallis chi-squared = 65.9549, df = 3, p-value = 0


                           Comparison of x by group                            
                             (Benjamini-Hochberg)                              
Col Mean-|
Row Mean |    old.men   young.me   young.wo
---------+---------------------------------
young.me |   3.662802
         |    0.0002*
         |
young.wo |   7.185657   3.522855
         |    0.0000*    0.0003*
         |
old.wome |   6.705346   3.042544  -0.480310
         |    0.0000*    0.0014*     0.3155

Kruskal-Wallis卡方检验结果的p值表明，我们的至少一组“来自不同人群”。对于逐组比较，最上面的数字是Dunn的z检验统计量，最下面的数字是p值，已针对多次比较进行了调整。由于我们的示例数据是相当人为的，因此拥有这么小的p值就不足为奇了。但是请注意，年轻女性和老年女性之间的右下角比较。该检验正确地支持了这两组之间没有差异的零假设。

$\dots$

更新：给定其他答案，此答案已更新，以质疑需要任何形式的非线性建模，或者给定OP的两个二元协变量（即四个组）的特定示例，必须存在一个符号更改以非参数评估。例如，如果年龄是连续的，将有其他方法来解决此问题，但这不是OP给出的示例。

因此，您具有以下随机变量：

• $A$$\mathbb{N}$
• $S$$\{\text{male},\text{female}\}$
• $W$$]0, \infty[$

并且您具有以下概率质量/密度函数：

• $f_W$$W$
• $f_{W,A}$$W,A$
• $f_{W,S}$$W,S$
• $f_{W,A,S}$$W,A,S$

$w$$a$$s$

• $f_{W,A}(w,a) \ne f_W(w)$
• $f_{W,S}(w,s) \ne f_W(w)$

$w$$a$$s$

但是，您不知道上面真正的联合PDF。由于您想将自己局限于非参数方法，因此您现在的任务是找到这些非参数估计：

• $\hat f_{W,A}(w,a)$
• $\hat f_{W,S}(w,s)$
• $\hat f_{W,A,S}(w,a,s)$

然后显示：

• 您的密度估算值足够准确。
• $\hat f_{W,A,S}(w,a,s) \ne \hat f_{W,A}(w,a) \ne \hat f_{W,S}(w,s)$
• $\hat f_{W,A,S}(w,a,s) = \hat f_{W,A}(w,a) = \hat f_{W,S}(w,s)$

那将是检查交互作用。线性建模可以检查这种情况，但它不是非参数的，因此我猜必须使用其他工具。

你如何检查你age和gender效果到现在为止？

编辑：这个答案看起来将帮助您