是否有关于S形曲线的公式，其范围和范围为[0,1]

基本上，我想将相似性度量转换为用作预测变量的权重。相似之处将在[0,1]上，而我将权重也限制在[0,1]上。我想要执行此映射的参数函数，我可能会使用梯度下降对其进行优化。要求是0映射到0，1映射到1，并且严格增加。还可以理解一个简单的导数。提前致谢

编辑：感谢到目前为止的答复，这些都非常有帮助。为了使我的目的更清楚，任务是预测。我的观察结果是具有单个维度的极稀疏向量，可以对其进行预测。我的输入尺寸用于计算相似度。然后，我的预测是该预测变量的其他观察值的加权总和，其中权重是相似性的函数。为了简单起见，我将权重限制在[0,1]上。希望现在显而易见，为什么我要求0映射为0，要求1映射为1，并要求它严格增加。正如whuber指出的那样，使用f（x）= x可以满足这些要求，并且实际上效果很好。但是，它没有要优化的参数。我有很多观察，所以我可以容忍很多参数。我将手动编码梯度下降，因此我偏爱简单的导数。

例如，给出的许多响应都是关于.5对称的。使参数向左/向右移动（例如使用beta分布）会很有用

这是一个：

$y=\frac{1}{1+\left ( \frac{x}{1-x} \right )^{-\beta}}$

其中是> $\beta$$>0$

] 2

正如@whuber所评论的那样，函数 满足您提到的三个要求（即0映射为0，1映射为1，并且该函数严格增加）。在问题的标题中，您似乎表明您对S形函数也很感兴趣，例如Sigmoid / Logistic曲线。它是否正确？在这种情况下，您当然应该尝试以下逻辑函数，该函数将大致满足您指定的所有4个条件：$f(x)=x$

此方程式中的将控制曲线的斜率。更改k还将允许您控制f （0 ）和f （1 ）分别接近0和1的程度。例如对于k = 20，f （0 ）= 4.539787 e − 05和f （1 ）= $k$$k$$f(0)$$f(1)$$k=20$$f(0)=4.539787e-05$$f(1)=0.9999546$。

该函数的导数很容易计算为： 有关此功能的更多信息，请访问https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function

让我提供符合要求的最通用的解决方案：这将为您提供最大的选择和优化灵活性。

我们可以将“ S形”解释为单调递增曲线（因为变换应该是一对一的），它由一个向上凹的部分和另一个向下凹的部分组成。我们可能集中在使左半部分凹入向下，因为另一种类型（左半部分凹入向上）是通过反转这样的变换获得的。

由于变换被认为是可微的，因此它必须具有递减的导数f $f$$f^\prime$的左半部分，而右半部分递增的导数。无论如何，导数必须是非负的，并且只能在孤立点为零（如果有的话：导数的最小值给出变换的最小斜率）。

它不要求导数微分的，但作为一个实际问题我们可以假设，这是几乎处处与衍生。 $f^{\prime\prime}$

这个二阶导数几乎可以做任何事情：我们所需要的就是

• 它是可集成的

• 对于某个左手区间所有值，均小于或等于零，并且$[0, k)$

• 对于右间隔中的所有值都大于或等于零。$(k, 1]$

此类函数（及其反函数）对所有解的集合进行参数化。$f^{\prime\prime}$ （有一些冗余：下面描述的最后一个标准化步骤可以解决这个问题。）

微积分的基本定理使我们能够从任何这样的规范中恢复。那是，$f$

和

的条件保证˚F从其minimim单调上升˚F （0 ）至某个最大˚F （1 ）= C ^。最后，通过将前一个积分的值除以C来标准化f。$f^{\prime\prime}$$f$$f(0)$$f(1) = C$$f$$C$

这是从二阶导数的随机游走版本开始的说明。其中，导数尚未归一化，但变换已归一。$f$

$f^{\prime\prime}$$[0,k)$$(k,1]$R

$f^\prime$$f^{\prime\prime}$$f^\prime$$f$

$f$$f^{\prime\prime}$$f^{\prime\prime}$

$f(x)=x$$f^{\prime\prime}(x)=0$$f^\prime$$f$$1$$0$$f^\prime$$f(x)=1-x$

n <- 51                      # Number of interpolation points
k.1 <- floor(n * 2/3)        # Width of the left-hand interval
k.2 <- n - k.1               # ............ right-hand interval
x <- seq(0, 1, length.out=n) # x coordinates
set.seed(17)

# Generate random values of the second derivative that are first negative,
# then positive.  Modify to suit.
y.2 <- (c(runif(k.1, -1, 0), 0.5*runif(k.2, 0, 1))) * abs(cos(3*pi * x)) + 
  c(rep(-.1, k.1), rep(.5,k.2))

# Recover the first derivative and then the transformation.  Control the 
# minimum slope of the transformation.
y.1 <- cumsum(y.2)
y.1 <- y.1 - min(y.1) + 0.005 * diff(range(y.1))
y <- cumsum(y.1)
y <- (y - y[1]) / (y[n] - y[1]) # Normalize the transformation

#
# Plot the graphs.
par(mfrow=c(1,3))
plot(x, y.2, type="l", bty="n", main="Second derivative")
points(x, y.2, pch=20, cex=0.5)
abline(h=0, col="Red", lty=3)
plot(x, y.1, type="l", bty="n", lwd=2, main="First derivative")
abline(h=0, col="Red", lty=3)
plot(x, y, type="l", lwd=2, main="Transformation")

对我来说，您要使用它的目的不是很清楚，所以我不能说这样做是否有意义，但满足您的所有条件似乎很琐碎。

• s形曲线

• 参数函数

• 0映射为0，1映射为1，严格增加

• 单导数

那么，为什么不对pdf为“简单”的[0,1]仅仅采用任何方便的连续单峰*分布族呢？这似乎满足了您列出的所有内容。

*（其模式限制于端点）

• s形曲线-通过单峰性保证（模式不在端点处）

• 参数化-通过提供任何具有参数的特定族

• 0映射为0，1映射为1严格增加-这就是[0,1]上的分布函数的作用；您只需要密度（0,1）> 0

• 简单派生-即pdf，因此，如果pdf适合您的标准是“简单的”，则说明您完成了。

（如Alex R所说）有无数个。他提到的beta很明显，但是cdf是不完整的beta函数，因此您需要评估一下---它是许多软件包（包括几乎所有不错的stats软件包）中的标准函数，因此我怀疑很难。但是请注意，并不是所有的beta都是单峰的（模式不在末尾），因此该族还包含非“ s”形的cdf。

这是三个相当简单的家庭的照片：

还有许多其他选择，可以轻松构建新的选择。

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响应对问题的编辑：

$c=\frac12$$\mu$${\alpha-\beta}$$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}-\frac12$