离散变量和连续随机变量之和是连续的还是混合的？

如果是离散的，而Y是连续的随机变量，那么关于X + Y的分布我们能说什么呢？它是连续的还是混合的？$X$$Y$$X+Y$

怎么样的产品？$XY$

假设假定值ķ ∈ ķ具有离散分布（p ķ ）ķ ∈ ķ，其中ķ是可数集，并且ÿ假定在值[R与密度˚F ÿ和CDF ˚F ÿ。$X$$k \in K$$(p_k)_{k \in K}$$K$$Y$$\mathbb R$$f_Y$$F_Y$

让。我们有 P（Z ^ ≤ ž ）= P（X + Y ^ ≤ ž ）= Σ ķ ∈ ķ P（Ÿ ≤ ž - X | X = ķ ）P（X = ķ ）= Σ ķ ∈ ķ ˚F Ÿ（ž - k ）p k$Z = X + Y$

$$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$$ 它可以分化以获得密度函数由下式给出 ˚F Ž（ż ）= Σ ķ ∈ ķ ˚F ý（ž - ķ ）p ķ$Z$ $$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$$

$R = X Y$$p_0 = 0$

$$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$$ 再次可以将其微分以获得密度函数。

$p_0 > 0$$\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$$XY$

$X$$p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$$\mathcal{X}$$X$

$$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$$

$\delta$

$Y$$Z := X+Y$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$Z$$f_X$$f_Y$

$$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$$

$X$$Y$

编辑：我假设“连续”的意思是“具有pdf”。如果连续是用来表示无原子，则证明是相似的。只需在下面将“ Lebesgue空集”替换为“单顿集”即可。

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$X$$\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$$P(Z\in E)=0$$E$

$\square$

$X+Y$$E$

$$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$$ $Y+x_k\in E$$Y\in E-x_k$$E-x_k$$Y$$P(Y+x_k\in E)=0$$X+Y$

$P(X=0)=0$$P(X=0)=1$$XY$$P(XY=0)=1$$XY$