在n项伯努利试验序列中，有k次成功的概率

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我正在尝试找出在25个试验的区块中连续进行8个试验的概率，您总共有8个区块（在25个试验中）要连续进行8个试验。根据猜测使任何试验正确的概率为1/3，在连续获得8个正确的块之后，该块将终止（因此，从技术上讲不可能连续获得8个以上的正确）。我将如何查找发生这种情况的可能性？我一直在考虑使用（1/3）^ 8作为连续正确获得8的可能性，如果我乘以17，则有17种可能的机会在25个试验的区块中连续获得8可能性*我得到136的8个块，在这种情况下1-（1-（1/3）^ 8）^ 136是否会让我有可能连续获得8个正确的数据？

probability binomial

— AcidNynex
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我认为所给论点的问题在于所考虑的事件不是独立的。例如，考虑单个块。如果我告诉你，（一）不存在八个运行，在6位开始，（B）有是开始于7位和（c）没有运行开始在8位运行，这是什么告诉你从9到15的位置开始奔跑的概率是多少？

— 主教

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通过跟踪事物，您可以获得精确的公式。

假设为成功的概率，而为要计数的连续成功的次数。这些已解决问题。变量值为，即块中剩余的试验次数；和，已经观察到的连续成功的次数。让我们在用尽试验之前最终连续获得成功的机会记为。我们寻求。 $p=1/3$ $k=8$ $m$ $j$ $k$ $m$ $f_{p,k}(j,m)$ $f_{1/3,8}(0,25)$

假设我们已经连续进行试验就看到了成功。下一次试验是成功的，概率为这种情况下，增加到；否则它是失败的，概率为，在这种情况下重置为。无论哪种情况，减少。何处 $j^\text{th}$ $m\gt0$ $p$ $j$ $j+1$ $1-p$ $j$ $0$ $m$ $1$

f_{p, k} (j, m) = p f_{p, k} (j + 1, m - 1) + (1 - p) f_{p, k} (0, m - 1) .

$f_{p,k}(j,m) = p f_{p,k}(j+1,m-1) + (1-p)f_{p,k}(0,m-1).$

作为起始条件对于（即，我们已经连续看到），我们得到明显的结果和对于（即，没有足够的试验来连续获取）。现在可以快速而直接地（使用动态编程，或者因为这个问题的参数很小，所以使用递归）进行计算 $f_{p,k}(k,m)=1$ $m \ge 0$ $k$ $f_{p,k}(j,m)=0$ $k-j \gt m$ $k$

f_{p, 8} (0, 25) = 18 p^{8} - 17 p^{9} - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18} .

$f_{p,8}(0,25) = 18p^8 - 17p^9 - 45p^{16} + 81p^{17}-36p^{18}.$

当得出。 $p=1/3$ $80897 / 43046721 \approx 0.0018793$

相对快速的R代码来模拟这是

hits8 <- function() {
    x <- rbinom(26, 1, 1/3)                # 25 Binomial trials
    x[1] <- 0                              # ... and a 0 to get started with `diff`
    if(sum(x) >= 8) {                      # Are there at least 8 successes?
        max(diff(cumsum(x), lag=8)) >= 8   # Are there 8 successes in a row anywhere?
    } else {
        FALSE                              # Not enough successes for 8 in a row
    }
}
set.seed(17)
mean(replicate(10^5, hits8()))

经过3秒钟的计算，输出为。尽管这看起来很高，但只有1.7个标准错误。我又进行了次迭代，：仅比预期少标准误差。（仔细检查一下，因为该代码的早期版本存在一个细微的错误，所以我还在Mathematica中运行了400,000次迭代，的估计值为。） $0.00213$ $10^6$ $0.001867$ $0.3$ $0.0018475$

此结果小于问题中之一。但是，也许我还没有完全理解它：“您总共有8个区块...连续获得8个正确的试验”的另一种解释是，寻求的答案等于。 $1-(1-(1/3)^8)^{136} \approx 0.0205$ $1 - (1 - f_{1/3,8}(0,25))^8) = 0.0149358...$

— ub
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虽然@whuber出色的动态编程解决方案值得一读，但相对于试验总数和所需试验长度而言，其运行时间为，而矩阵求幂方法为。如果远远大于，则以下方法更快。 $\mathcal O(k^2m)$ $m$ $k$ $\mathcal O(k^3\log(m))$ $m$ $k$

两种解决方案都将问题视为一个马尔可夫链，其状态表示到目前为止字符串末尾的正确试验次数，并且是一个状态，用于连续获得所需的正确试验。过渡矩阵使得看到概率为的故障会使您返回状态0，否则概率为会使您进入下一个状态（最终状态为吸收状态）。通过将此矩阵提高到第次幂，第一行和最后一列的值就是连续看到个头的概率。在Python中： $p$ $1-p$ $n$ $k=8$

import numpy as np

def heads_in_a_row(flips, p, want):
    a = np.zeros((want + 1, want + 1))
    for i in range(want):
        a[i, 0] = 1 - p
        a[i, i + 1] = p
    a[want, want] = 1.0
    return np.linalg.matrix_power(a, flips)[0, want]

print(heads_in_a_row(flips=25, p=1.0 / 3.0, want=8))

根据需要产生0.00187928367413。

— 尼尔·G
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根据这个答案，我将进一步解释@Neil G的Markov-Chain方法，并为中的此类问题提供一般的解决方案R。让我们用分别表示所需的正确试验次数，用表示试验次数，用（胜利）表示正确试验，用（失败）表示错误试验。在跟踪试验的过程中，您想知道在当前序列结束时是否已经有8条正确试验的条幅以及正确试验的数量。有9个状态（）： $k$ $n$ $W$ $F$ $k+1$

：我们还没有连续正确试验的是，最后的审判是。 $A$ $8$ $F$

：我们还没有连胜正确的审判还没有，最后两个试验是。 $B$ $8$ $FW$

：我们还没有连续正确试验着呢，最后三个审判。 $C$ $8$ $FWW$

$\ldots$

：我们还没有连续正确试验着呢，晋级八强审判。 $H$ $8$ $FWWWWWWW$

：我们已经连续进行了正确的试验！ $I$ $8$

移动至状态的概率从状态是，并用概率，我们留在状态。从状态，移动至状态的概率是并用概率，我们搬回。等等。如果我们处于状态，我们就呆在那里。 $B$ $A$ $p=1/3$ $1-p=2/3$ $A$ $B$ $C$ $1/3$ $2/3$ $A$ $I$

由此，我们可以构建一个转换矩阵（作为每个列款项和所有条目都为正，被称为左随机矩阵）： $9\times9$ $M$ $M$ $1$ $M$

M = (\begin{matrix} 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 & 0 \\ 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 3 & 1 \end{matrix})

$M= \begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 2/3 & 0 \\ 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 1 \end{pmatrix}$

$n$ $M^{n}$ $j$ $i$ $n$ $I$ $1$ $I$ $I$ $1$ $I$ $A$ $n=25$ $M^{25}$ $M^{25}_{91}$ $M^{25}$ Rexpm

library(expm)

k <- 8   # desired number of correct trials in a row
p <- 1/3 # probability of getting a correct trial
n <- 25  # Total number of trials 

# Set up the transition matrix M

M <- matrix(0, k+1, k+1)

M[ 1, 1:k ] <- (1-p)

M[ k+1, k+1 ] <- 1

for( i in 2:(k+1) ) {

  M[i, i-1] <- p

}

# Name the columns and rows according to the states (A-I)

colnames(M) <- rownames(M) <- LETTERS[ 1:(k+1) ]

round(M,2)

     A    B    C    D    E    F    G    H I
A 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0.67 0
B 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
C 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
D 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0
E 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.00 0
F 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0
G 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0.00 0
H 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 0.00 0
I 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.33 1

# Calculate M^25

Mn <- M%^%n
Mn[ (k+1), 1 ]
[1] 0.001879284

$A$ $I$ $0.001879284$

— 酷色
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3

这是我编写的一些R代码来模拟这一点：

tmpfun <- function() {
     x <- rbinom(25, 1, 1/3)  
     rx <- rle(x)
     any( rx$lengths[ rx$values==1 ] >= 8 )
}

tmpfun2 <- function() {
    any( replicate(8, tmpfun()) )
}

mean(replicate(100000, tmpfun2()))

我得到的值比您的公式小，所以我们中的一个人可能在某个地方犯了一个错误。

— 格雷格·斯诺（Greg Snow）
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您的功能是否包括无法连续获得8个正确结果的试验，例如“试验”开始于20个试验？

— 米歇尔

最有可能的是，我的R模拟也给了我较小的值。我很好奇是否有代数解决方案可以解决这个简单的概率问题，以防有人对模拟提出异议。

— AcidNynex 2012年

1

我认为可以通过提供您获得的输出来改进此答案，以便可以对其进行比较。当然，还包括直方图之类的东西会更好！乍一看，该代码对我来说似乎很正确。干杯。:)

— 主教

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$1$ $0$

M = Table[e[i, j] /. {
    e[9, 1] :> 0,
    e[9, 9] :> 1,
    e[_, 1] :> (1 - p),
    e[_, _] /; j == i + 1 :> p,
    e[_, _] :> 0
  }, {i, 1, 9}, {j, 1, 9}];

x = MatrixPower[M, 25][[1, 9]] // Expand

18 p^{8} - 17 p^{9} - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18}

$18 p^8 - 17 p^9 - 45 p^{16} + 81 p^{17} - 36 p^{18}$

$p=\frac{1.0}{3.0}$

x /. p -> 1/3 // N

$0.00187928$

也可以使用内置函数Probability和DiscreteMarkovProcess Mathematica函数直接对其进行评估：

Probability[k[25] == 9, Distributed[k, DiscreteMarkovProcess[1, M /. p -> 1/3]]] // N

$0.00187928$

— 霍萨姆·卡里姆（Hossam Karim）
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