危险率背后的直觉

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我对危险率的定义方程感到困惑。我知道了危险率是多少，但我只是不明白方程式如何表达这种直觉。

如果是一个随机变量，表示某个时间间隔上某人的死亡时间。那么危险率是： $x$ $[0,T]$

h (x) = \frac{f (x)}{1 - F (x)}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

其中 $F(x)$ 表示直到时间点的死亡概率 $x\in[0,T]$ ，
$1-F(x)$ 表示直到时间点存活的概率 $x\in[0,T]$ ，
而 $f(x)$ 是在点死亡的概率 $x$ 。

用除以 $f(x)$ 生存率如何解释下一个中瞬时死亡概率的直觉 $\Delta t$ ？难道不是 $f(x)$ ，使危险率的计算变得微不足道吗？

survival intuition hazard

— 用户名
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令表示死亡时间（如果您更喜欢病态的描述，则表示失败时间）。假设是一个连续随机变量，其密度函数仅在上不为零。现在，请注意，一定是随衰减至的情况，因为如果并未如所述衰减，则不能成立。因此，您认为是时间的死亡概率（实际上，它是 $X$ $X$ $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ $f(T)$ $T$ $f(T)\Delta t$ （大约）是短时间间隔长度）中的死亡概率，得出令人难以置信和令人难以置信的结论，例如 $(T, T+\Delta t]$ $\Delta t$

与38岁相比，您30岁以下的一个月内死亡的可能性更高。

每当是这样的，。 $f(t)$ $f(30) > f(98)$

之所以（或）是“错误”的概率来看是值是感兴趣的只是那些谁是活着的年龄（仍精神上足够机敏，可以定期阅读统计信息！）应该注意的是下一个月内岁儿童死亡的可能性，也就是说， $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t]) \cap (X \geq T)}}{P {X \geq T}} \\ definition of conditional probability \\ = \frac{P {X \in (T, T + Δ t]}}{P {X \geq T}} \\ = \frac{f (T) Δ t}{1 - F (T)} \\ because X is a continuous rv \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

选择是两周，一周，一天，一小时，一分钟，等我们得出的结论是，在（当前的）风险率的 -年年纪 $\Delta t$ $T$

$h (T) = \frac{f (T)}{1 - F (T)}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

在某种意义上说，一个岁儿童在下一飞秒中的大概死亡概率为 $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

请注意，与密度积分为，积分 必须发散。这是因为CDF与通过 $f(t)$ $1$ $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$ ，由于，因此必须是或者更正式地说，危险率的积分必须是发散的：没有潜在的发散如先前的编辑所声称。

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} h (τ) d τ = \infty,

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

典型的危险率是时间的函数，但恒定的危险率（指数寿命）是可能的。这两种危险率显然具有不同的积分。不太常见的情况（对于那些相信事物会像美酒一样随年龄增长而改善的人）是一种危险率，它随着时间的流逝而降低，但缓慢到足以使积分发生分歧的程度。

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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“让X表示死亡时间（或者，如果您更喜欢病态的描述，则表示失败的时间）。直到康复的时间病态更少

— 。– ryu576

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想象一下，您对男性（初婚）的发生率很感兴趣。例如，要查看20岁时的结婚率，您可以选择一个在该年龄未结婚的人，并查看他们是否在明年（21岁之前）结婚。

您可以粗略估计出作为比例从您的20岁单身样本中结婚的个体，即

P (m a r r y b e f o r e 21 | n o t m a r r i e d a t 20)

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$

\frac{N (m a r r i e d b e f o r e 21 a n d n o t m a r r i e d a t 20)}{N (n o t m a r r i e d a t 20)}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

因此，基本上这只是使用条件概率的定义，现在想象一下，我们使年龄单位越来越小，例如直到几天。也就是说，在7300天时结婚的发生率是多少？然后，您将执行相同的操作，但对所有7300天的人进行调查，看看谁在一天结束之前结婚。如果是结婚时的随机可变年龄，那么我们可以写成与以前相同。

P (X | Y) = \frac{P (X, Y)}{P (Y)} .

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$

T

$T$

P (T \leq 7301) | T \geq 7300) = \frac{P (T \in [7300, 7301))}{P (T \geq 7300)}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$

对于未婚的个人，危险将是岁时的瞬时结婚概率。我们可以写成 $t$

h (t) d t = P (T \in [t, t + d t) | T \geq t) = \frac{P (T \in [t, t + d t))}{P (T \geq t)}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— 西奥多
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5

$f(x)$ 不是死亡的概率，而是概率的密度；如果概率密度在该时间单位内保持不变，则在下一个时间单位内死亡的预期次数。

请注意，这里有一个问题：您在已经去世之前死亡的可能性相当大。因此，计算到目前为止存活下来的条件下死亡的可能性更有意义。是生存到的概率，因此将概率密度除以该概率，将得到我们预期的下一个时间单位内死亡的条件，其条件是之前没有死亡。那就是危险率。 $1-F(t)$ $t$

— 马丁·布伊斯（Maarten Buis）
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