应该选择哪家医院？一个具有较高的成功率，但另一个具有较高的总体成功率

我对统计老师说的以下问题有疑问。我的问题甚至不在这种情况下发生的辛普森悖论上。我的问题仅仅是我的教授坚持认为A）和D）是正确的答案，而不是A）和F）。他说：

“由于E型手术的成功率很低，我们可以得出结论，这很困难，而且不仅仅罕见。因此，与Hope相比，Mercy可能拥有更好的设备/医生。”

我不了解他如何从统计学上推断出Mercy做了“更困难的手术”。Mercy显然在E型手术中具有更高的成功率，但是为什么这意味着他们进行“更困难的手术”。我想我被这个问题的措词所困扰，而教授并没有让步。有人可以向我解释为什么我错了，或者如何向教授解释这一点吗？

您所在的镇有两家名为Mercy和Hope的医院。您必须选择其中一项进行操作。您决定以他们的外科团队的成功为基础。幸运的是，根据新的医疗计划，医院会提供有关手术成功与否的数据，这些数据分为五大类。假设您获得了两家医院的以下数据：

Mercy Hospital

Type         A    B      C    D      E    All
Operations  359  1836   299   2086  149  4729
Successful  292  1449   179   434   13   2366

Hope Hospital 

Type          A   B  C   D   E   All
Operations   88 514 222 86  45   955
Successful   70 391 113 12  2    588

您会注意到，在所有类型的操作中，Mercy的成功率均高于Hope，但Hope的总体成功率最高。您会选择哪家医院，为什么选择（选择两个答案）？

A）怜悯；因为我要进行特定的手术，所以我希望该手术的成功率最高的医院。

B）希望；由于它们在所有类别中执行的操作较少，因此它们不像Mercy那样“操作愉快”。

C）希望；这是辛普森悖论的一个例子，我们应该始终选择“显而易见”的结论。

D）怜悯；从E栏来看，Mercy显然要进行更困难的手术，因此可能是一家更好的医院。

E）希望；它具有更好的总体成功率。

F）怜悯；这是辛普森悖论的一个例子，我们应该始终选择与“显而易见”结论相反的结论。

我认为A和E组合不好，因为A表示您应该选择Mercy，而E则应该选择Hope。

A和D具有提倡相同选择的优点。但是，让我们更详细地研究D中的推理路线，因为这似乎是一个混乱。在两家医院中，手术成功的可能性遵循相同的顺序，其中A型最可能成功，E型最不可能。如果我们崩溃（即忽略）医院，我们可以看到手术成功的边际概率为：

Type     A     B     C     D     E     All  
Prob   .81   .78   .56   .21   .08     .52

由于E 成功的可能性要小得多，因此可以合理地想象它更加困难（尽管在现实世界中，还存在其他可能性）。我们也可以将思路扩展到其他四种类型。现在让我们看一下每种类型的医院在总外科手术中所占的比例：

Type     A     B     C     D     E  
Mercy  .08   .39   .06   .44   .03  
Hope   .09   .54   .23   .09   .05

我们在这里注意到的是，Hope倾向于在比较容易的AC（尤其是B＆C）手术中做更多的事，而在D等较难的手术中做得较少。在这两家医院中，E都很少见，但是，就其价值而言，Hope实际上百分比更高。尽管如此，辛普森的悖论效应将主要由BD驱动（实际上并不是E列为答案D所建议的）。

辛普森悖论之所以发生，是因为手术的难度不同（通常），并且因为N的不同。正是由于不同类型的手术的基本费率不同，才使这种做法与直觉背道而驰。如果两家医院进行的每种手术的次数完全相同，那么将很容易发现发生的情况。我们可以通过简单地计算成功概率并乘以100来实现。这会针对不同的频率进行调整：

Type     A     B     C     D     E     All  
Mercy   81    79    60    21    09     250  
Hope    80    76    51    14    04     225

现在，由于两家医院都进行了100次手术（总共500例），答案显而易见：仁慈是更好的医院。

没有一个答案是完全没有根据的。但是它们都具有大量的外部知识，因此不能完全根据统计数据得出正确的结论。

A，B，D和E都需要对导致患者选择一家医院而不是另一家医院的因素做出假设；医生和患者的匹配过程，成功率在多大程度上归因于特定的手术类别以及诸如ICU之类的共享因素，等等。

在现实世界中，我们可以合理地考虑许多其他因素，例如医院正式接受的付款服务提供商，附近的社会经济状况和肥胖率，是否是教学医院（在这种情况下，当新的实习生到达时，成功率会直线下降，而我们必须考虑每月组合），并不断。

显然，我们可以并且确实对这些因素做出合理的假设，但是如果不专门解决这些问题或将它们排除在问题之外，就无法说出答案是否“正确”。

@gung给出了一个非常彻底的答案，但是D仍然是这个问题的正确答案还有一个原因：更好的医院会做更多的困难手术，因为它们会更好。就是说，如果某人进入霍普医院接受手术E（最困难），他们可能会将他/她送往慈悲，因为霍普医院的他们不知道该怎么做。

这甚至发生在现实世界中，最困难的案例被发送到更大或更专业的医院。