了解粒子过滤器的数学和统计学先决条件？

我目前正在尝试了解粒子过滤器及其在金融中的可能用途，并且我在相当努力。为了（i）使粒子过滤器的基础变得易于使用，以及（ii）以后再全面理解它们，我应该重新讨论哪些数学和统计先决条件（来自定量金融的背景）？除了状态空间模型（我尚未介绍）以外，我对研究生级时间序列计量经济学有扎实的知识。

任何提示都非常感谢！

仅需几个基本概念，您就可以得到令人震惊的结果。表示法，变量的爆炸式增长等可能会使事情看起来复杂，但是粒子过滤的核心思想非常简单。

您需要（可能已经知道！）的一些基本概率：

• 计算边际分布：$P(X = x) = \sum_i P(X = x, Y = y_i)$
• 防御 条件概率：$P(X \mid Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}$
• 贝叶斯规则：$P(X \mid Y) = \frac{P(Y \mid X) P(X)}{P(Y)}$
• 贝叶斯术语：例如。先验，可能性，后验（我同意+1 @Yair Daon！）

粒子过滤器的基本步骤非常简单：

第一：

• 从关于某种隐藏状态的一些信念开始。例如，您可能首先相信您的火箭在发射台上。（在粒子过滤器中，关于隐藏状态的信念将用点云表示，每个点表示隐藏状态的可能值。每个点还与状态为真实状态的概率相关。）

然后，您迭代以下步骤以从时间更新到时间：$t$$t+1$

1. 预测步骤：根据运动定律向前移动点的位置。（例如，根据火箭当前的速度，轨迹等向前移动点）。随着不确定性的增加，这通常会扩展出点云。
2. 概率更新步骤：使用数据，传感器输入来使用贝叶斯规则更新与点关联的概率。随着不确定性的降低，这通常会使点云崩溃。
3. 添加一些特定于粒子过滤的步骤/技巧。例如。：
   • 有时会对您的点重新采样，以使每个点都具有相等的概率。
   • 混入一些噪声，防止您的概率步骤（2）过多地折叠点云（在粒子滤波中，重要的是在您的真实位置至少有一个点具有隐含的正概率！）

例：

初始化过滤器：-查看您所处的位置。现在闭上你的眼睛。

然后重复：

1. 闭上眼睛向前走一步。
2. 预测步骤：鉴于过去在哪里，你的信念是站立，预测你在哪里，现在站在给出向前迈进了一步。（请注意，不确定性会如何扩展，因为您闭着眼睛前进并不十分精确！）
3. 更新步骤：使用传感器（例如，周围的感觉等）更新您对自己站立位置的看法。

重复！

实施所需的概率机制基本上只是基本概率：贝叶斯规则，计算边际分布等。

高度相关的想法可能有助于理解全局：

从某种意义上说，步骤（1）和（2）对于任何贝叶斯滤波问题都是通用的。一些高度相关的概念可能需要阅读：

• 隐马尔可夫模型。如果在给定当前状态的情况下过去与将来无关，那么流程就是马尔可夫。几乎任何时间序列都被建模为某种马尔可夫过程。一个隐马尔可夫模型是一个其状态还没有直接观察（如：你从来没有直接观察你的火箭的确切位置，而是通过贝叶斯过滤器推断出它的位置）。
• 卡尔曼滤波。这是常用粒子过滤的替代方法。它基本上是贝叶斯过滤器，其中所有内容均假定为多元高斯。

您应该先学习易于编码的状态空间模型，然后再学习封闭形式的过滤（例如，卡尔曼过滤器，隐马尔可夫模型）。马修·冈恩（Matthew Gunn）是对的，您可以通过简单的概念取得令人惊讶的成就，但是在我拙见中，您应该将其作为一个中间目标，因为：

1.）相对而言，状态空间模型中有更多的运动部件。当您学习SSM或隐藏的markov模型时，会有很多表示法。这意味着在您进行验证时，还有更多的东西要保存在您的工作记忆中。就我个人而言，当我首先学习卡尔曼滤波器和线性高斯SSM时，我基本上是在思考：“这只是多元法向向量的性质，我只需要跟踪哪个矩阵是哪个。” 另外，如果要在书籍之间切换，它们通常会更改表示法。

之后，我想到了“嗯，这在每个时间点都只是贝叶斯的法则”。一旦以这种方式想到它，就可以理解为什么共轭族很好，例如卡尔曼滤波器。当您编写具有离散状态空间的隐藏式马尔可夫模型时，您会明白为什么不必计算任何可能性，并且过滤/平滑很容易。（我认为我在这里偏离了常规的hmm行话。）

2）在编写大量代码时会费劲，这会让您意识到状态空间模型的定义有多普遍。很快，您将写下您要使用的模型，同时了解为什么不能这样做。首先，您最终会发现您无法以惯用的两种形式之一将其写下来。再考虑一下时，您写下贝叶斯规则，发现问题在于您无法计算出某种可能性的数据。

因此，您最终将无法计算这些后验分布（平滑或过滤状态的分布）。为了解决这个问题，这里有很多近似过滤的东西。粒子过滤只是其中之一。粒子过滤的主要优点：您可以根据这些分布进行模拟，因为无法计算它们。

您如何模拟？大多数算法只是重要性采样的某种变体。但是它在这里的确也变得更加复杂。我建议使用Doucet和Johansen的教程纸（http://www.cs.ubc.ca/~arnaud/doucet_johansen_tutorialPF.pdf）。如果您了解闭式表单过滤的工作原理，他们将介绍重要性抽样的一般概念，然后介绍蒙特卡洛方法的一般概念，然后通过一个不错的财务时间序列示例向您展示如何使用这两件事。恕我直言，这是我遇到的关于粒子过滤的最佳教程。

除了在组合中添加两个新概念（重要性采样和蒙特卡洛方法）外，现在还有更多符号。从现在开始采样的一些密度；您正在评估的一些样本，当您评估它们时，您是在样本评估。全部编码后，结果就是加权样本，被视为粒子。每次进行新观察后，它们都会更改。立即将所有这些都收集起来非常困难。我认为这是一个过程。

如果我是神秘人物或手形人物，我深表歉意。这只是我个人对该主题熟悉的时间表。Matthew Gunn的帖子可能更直接地回答了您的问题。我只是觉得我会抛弃这个回应。