一组随机变量的最小值如何分布？

如果是独立的均匀分布的随机变量，那么分布一般可以说什么？$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

如果X_i的cdf $X_i$由F（x）表示$F(x)$，则最小值的cdf由$1-[1-F(x)]^n$。

如果$X_i$的CDF 由$F(x)$表示，则最小值的CDF由$1-[1-F(x)]^n$。

推理：给定随机变量，概率表示至少一个小于。$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

至少一个小于的概率等于一减去所有大于的概率，即。$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

如果是独立的均匀分布，则所有都大于的概率为。因此，原始概率为。$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

示例：说，则直观上的概率应等于1（因为从起最小值将始终小于1 for all）。在这种情况下因此概率始终为1。$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

罗伯·海德曼（Rob Hyndman）给出了固定n的简单准确答案。如果您对大n的渐近行为感兴趣，可以在极值理论领域中解决。可能的限制分布的种类很少。例如参见本书的第一章。

我认为在特殊情况下答案1-（1-F（x））^ n是正确的。特殊情况是rv的pmf基于rv的域的公式为条件，如果上述域的各个部分不同，则上述公式与实际的模拟结果会有少许偏差。