样本相关系数是总体相关系数的无偏估计量吗？

这是真的，是一个无偏估计？也就是说， $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

如果没有，什么是一个无偏估计？（也许有一个标准的无偏估计器被使用？而且，它类似于无偏样本方差，我们可以简单地进行调整，将有偏样本方差乘以 $\rho_{X,Y}$ ？） $\frac{n}{n-1}$

人口相关系数被定义为同时将样品相关系数被定义为

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— 肯尼·李
source

关于

估计量的一个（有点类似）问题。

ρ

$\rho$

— ttnphns

“什么是无偏估计量”问题以存在一个且只有一个为前提。 先验的，似乎没有任何理由认为。

$\qquad$

— Michael Hardy

@MichaelHardy：我已经纠正了。感谢您指出。

— 肯尼·路易斯

刚刚偶然发现了这个线程，我认为这可能是一个有趣的阅读sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352（我自己尚未读过，

— TBH

最小方差无偏估计量：projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

这不是一个简单的问题，但是有些表达式可用。如果您特别在谈论正态分布，那么答案是否定的！我们有

Ë \hat{ρ} = ρ [1个 - \frac{（ 1个 - ρ^{2} ）}{2 ñ} + Ø （ \frac{1个}{ñ^{2}} ）]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

$n^{-2}$

$\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

$\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$ 。注意，这已经通过有界收敛定理从样本相关系数的有界性和一致性中得出。

— 约翰·克
source

There may be infinitely many terms in the expression above, but "infinite terms" would be there are some terms, each of which is infinite.

$\qquad$

— Michael Hardy

Suppose all points in a bivariate population lie on a straight line with nonzero slope. Then all points in any sample do so too. I conjecture therefore that if population correlation has absolute value

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$ so also sample correlation

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$ .

— Nick Cox

@NickCox That's true, in the degenerate case the sample correlation coefficient would return

| 1 |

$|1|$ with no estimation error.

— JohnK

For a related question, does anyone know if analogous results exist for any other distributions besides the 2D normal?

— Riemann1337