说一个事件“最终发生”是什么意思？

考虑初始状态为的整数的一维随机游动： $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S n = x + \sum i = 1 n ξ i

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

其中增量是IID，使得。 $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

可以证明（1）

P x {S n reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

下标表示初始位置。

让 $\tau$ 是所述第一通过时间至状态 $+1$ 。换句话说， $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$ 。一个人也可以证明（2）

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

两种证明都可以在http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf中找到。通过阅读本文，我确实了解了两种证明。

但是，我的问题是，第一句话以及一般情况下，“最终”的含义是什么。如果某事“最终”发生，那么它不必在有限的时间内发生，不是吗？如果是这样，什么不发生和什么“最终发生”之间的真正区别是什么？在某种意义上，陈述（1）和（2）与我矛盾。还有其他这样的例子吗？

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只是想增加问题的动机，即“最终”发生的事情的简单示例，但是期望等待时间有限。

P {walker eventually moves left} = 1 - P {walker never moves left} = 1 - lim n \to \infty 1 2 n = 1

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

因此，我们知道步行者将“最终”向左移动，并且这样做之前的预期等待时间（即，向左移动）为。 $1/(1/2)=2$

看到“最终”发生但预期的“等待时间”无限长的事情对于我的想象力来说是很大的负担。@whuber回应的后半部分是另一个很好的例子。

— 叶田
source

最终在有限的时间内是没有意义的。恰恰相反：P是有限的，而对tau的期望是无限的

— seanv507

好吧，这是柯西分布的规范示例，网址为en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution。

— seanv507

@ seanv507-是的，尽管柯西分布的均值是不确定的，而不是无限的（当接近无穷大而不是稳定收敛至+无穷大时，来自柯西dbn的样本均值会跳来跳去）。我想到的是Pareto分布（en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution），当其形状参数时，均值=无穷大，但具有明确定义的概率分布函数。

n $n$

α<=1 $\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF谢谢-我应该说帕累托

— seanv507 '16

所有这一切都有一些安慰：如果，则，但反之则不行。

P(τ=∞)>0 $P(\tau=\infty)>0$

E[τ]=∞ $E[\tau]=\infty$

— 亚历克斯R.16年

Answers:

您将如何证明“最终发生”事件？您将与一个假设的对手进行思想实验。对手可以用任何正数挑战您。如果您找到（最有可能取决于），在时间发生该事件的机会至少为，那么您赢了。 $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

在该示例中，“ ”是一种误导性表示法，因为您既可以使用它来指代随机游动的一种状态，也可以指代整个随机游动本身。让我们小心辨别区别。“ 最终达到 ”是指所有随机游动的集合的子集。每次行走都具有无限多个步骤。的值在时间是。“达到按时间 ”指的子集已达到国家规定的散步按时间 $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ 。严格地是安排

Ω 1, n = {S \in Ω ∣ S 1 = 1 or S 2 = 1 or \dots or S n = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

在对假想对手的回应中，您展示的具有以下特性： $\Omega_{1,n}$

P ξ (Ω 1, n) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

由于是任意的，因此您可以使用集合中的所有元素 $n$

Ω 1, \infty = ⋃ n = 1 \infty Ω 1, n .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

（回想一下，，当且仅当存在一个有限为其，所以有不此联盟涉及的任何无限数。） $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

您赢得游戏的能力表明，无论多么小，该联合都有可能超过形式的所有值。因此，该概率至少为因此等于。然后，您将证明 $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P ξ (Ω 1, \infty) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

理解“最终发生”与具有无限期望的第一次通过时间之间的区别的一种简单方法是考虑一种更简单的情况。对于任何自然数的，令为序列 $n$ $\omega^{(n)}$

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

其中零后跟一串无穷的1。换句话说，这些是停留在原点并在某个（有限）时间到达点，然后一直停留在此处的步行。 $n$ $1$

令为所有这些的集合和离散的sigma代数。通过分配概率测度 $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

这样做的目的是要在等于的时间跳到的机会，这显然很接近。您将赢得比赛。 跳跃最终会发生，并且一旦发生，它将在某个有限的时间。 但是，它发生的预期时间是生存函数的总和（这提供了在时间上没有跳跃的机会）， $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

哪有分歧。这是因为在跳动之前等待较长时间的可能性较大。

— ub
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如果我将您的第一部分读成沸腾到epsilon / delta参数，我是否误会了，因此基本上只是说（其中是步之后某个事件的概率）？

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

$P_n$

$n$

— jpmc26

@jpm它不仅仅归结为它：这是一个epsilon-delta参数。在这种情况下，“ delta”为“ ”，“ epsilon”写为“ ”，以提醒人们这是一个概率。这里要强调的是对有限性的：限制在有限值和有限行动，不是无限的人来定义。

$n$

$p$

$n$

— ub

感谢匿名用户用于建议使用underbrace中的描述。

$\omega^{(n)}$

— ub

某事最终发生意味着某事发生在某个时间点，但是有一个含义，即某事并未指代发生该事之前的任何特定时间。如果您说三周之内会发生某事，那将比最终发生要强。最终将不会发生的时间没有指定时间，例如“三周”或“三百亿年”或“一分钟”。

— 迈克尔·哈迪
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