由于通常对响应变量给出线性回归的标准误差，因此我想知道如何在另一个方向上获取置信区间，例如对于x截距。我可以看到它可能是什么，但是我敢肯定必须有一种简单的方法来做到这一点。下面是R中如何形象化显示的示例：

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

如何在线性回归中计算x截距的置信区间？

假设

• 使用简单的回归模型。$y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• 错误具有正态分布，条件取决于回归变量$\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• 使用普通最小二乘法拟合

3个过程来计算x截距的置信区间

• 泰勒扩展（易于使用）
• 马克盒中方法（MIB）
• CAPITANI-POLLASTRI（https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf）

一阶泰勒展开

你的模型是与估计的标准偏差和上和参数和估计的协方差。你解决$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

然后，上的标准偏差由下式给出：$\sigma_X$$X$

MIB

请参阅“ 如何在线性回归中计算x截距的置信区间 ”框中的Marc代码。。

卡皮塔尼-波拉斯特里

CAPITANI-POLLASTRI提供了两个相关正态随机变量之比的累积分布函数和密度函数。它可用于计算线性回归中x截距的置信区间。此过程提供的结果几乎（与MIB相同）。

实际上，使用普通的最小二乘并假设误差的正态性，（已验证）和是相关的（已验证）。$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

步骤如下：

• 获得和 OLS估计量。$a$$b$
• 得到方差-协方差矩阵并提取。$\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• 假设和遵循双变量相关正态分布。然后由CAPITANI-POLLASTRI给出的密度函数和累积分布函数。b Ñ（一个，b ，σ 一个，σ b，ρ ）X 我Ñ 吨Ë ř Ç Ê p 吨 = - $a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• 使用的累积分布函数来计算所需的分位数并设置一个cofidence间隔。$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

3种程序的比较

使用以下数据配置对过程进行比较：

• x <-1:10
• a <-20
• b <--2
• y <-a + b * x + rnorm（长度（x），均值= 0，sd = 1）

使用这三种方法生成并分析了10000个不同的样本。可以在以下位置找到用于生成和分析的代码（R）：https：//github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb

• MIB和CAPITANI-POLLASTRI给出相同的结果。
• 一阶泰勒展开式不同于其他两种方法。
• MIB和CAPITANI-POLLASTRI的覆盖率不足。发现68％（95％）ci包含63％（92％）的真实值。
• 一阶泰勒展开式有过度覆盖的问题。发现68％（95％）ci包含87％（99％）的真实值。

结论

x截距分布是不对称的。它证明了不对称的置信区间。MIB和CAPITANI-POLLASTRI给出相同的结果。CAPITANI-POLLASTRI有很好的理论依据，它为MIB提供了基础。MIB和CAPITANI-POLLASTRI遭受中等程度的覆盖不足，可用于设置置信区间。

我建议引导残差：

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

您在图表中显示的是预测置信带的上下限与轴的交点。我不认为这些是截距的置信度极限，但也许它们是一个近似值。