幂律分布背后的直觉

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我知道幂律分布的pdf为

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

但是，例如，股价遵循幂定律分布，从直觉上意味着什么？这是否意味着损失可能很高但很少发生？

distributions power-law

— 托马斯·詹姆斯
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F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$

x

$x$

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$

1

$1$

α

$\alpha$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$

0.9

$0.9$

α

$\alpha$

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$

u

$u$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ R curve rendering of the above function

— 西安
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这不是一个同行评审的来源，但我喜欢这个音符通过CMU统计教授科斯马·沙利齐。他还是这篇文章的作者，该书的目的是从数据中估计出这种情况。

— 是的
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这就是为什么我问我的问题。我已经读过该文章。如果没有方程，那么遵循幂定律分布意味着什么？

— Thomas James

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欢迎来到站点，Thomas！您可以考虑编辑问题，以初步说明引起您兴趣的原因。通常，信息越多越好。例如，陈述您已经阅读了Shalizi教授的笔记，这使您想知道X不仅抢占了可以准确地表明这一点的答案，而且还更清楚地表明了您的思路，这往往会得出更好的答案。：）（例如，您阅读过M. Mitzenmacher在Internet Mathematics中的评论文章吗？）

— 红衣主教

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本文在经济和金融力量的法律可能有助于获得对权力的法律直觉。Xavier Gabaix指出，幂律（PL）是经济学和金融学中大量令人惊讶的经验规律所采用的形式。他的评论调查了关于收入和财富，城市和公司规模，股票市场收益，交易量，国际贸易和高管薪水的有据可查的经验PL。

帕累托分布的直觉

帕累托（维基百科）最初描述了财富在个人之间的分配：任何社会的大部分财富都由一小部分人拥有。他的想法更简单地表达为帕累托原则或“ 80-20规则”，即20％的人口控制着80％的财富。

收入和财富分配的右后方通常类似于帕累托

如果收入分配是帕累托，则可以得出前1％或前10％的份额的简单表达式。然后，可以将最高q个百分位数在总收入中的份额推导为：

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

其中为形状参数。此表达式表示，较低的对应于帕累托分布的较粗尾部，因此对应于较高百分比分布的个人在总收入中所占的份额较大。例如，在，最高的1％份额为10％，在情况下为4％。 $\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— 埃默里维尔
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幂律分布的一个有趣属性来自对数刻度。如果我们有，则对数变换。即，的值具有对数标度的指数分布。 $X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$

现在，指数分布的一个重要特性是它具有恒定的危险率。通过第一性原理（以极限形式的条件密度）写出的危险率，并对其进行调整以使其根据来表示，我们得到： $Y$ $X$

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (y) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (y ⩽ Y ⩽ y + ϵ | Y ⩾ y) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot P (\ln (x) ⩽ \ln (X) ⩽ \ln (x) + ϵ | X ⩾ x) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{P (x ⩽ X ⩽ x e^{ϵ} | X ⩾ x)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

我们可以从这个危险特性看出，对任何小值。请注意，此概率不取决于条件值，后者是恒定危害特性的结果。因此，对于任何调节值，任何小的值，我们有： $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ $\ln \delta$ $x$ $x, x' > x_\min$ $\ln \delta$

P (x ⩽ X ⩽ δ x | X ⩾ x) \approx P (x^{'} ⩽ X ⩽ δ x^{'} | X ⩾ x^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

$^\dagger$

— 恢复莫妮卡
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