期望

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令，，，为独立的。的期望是什么？ $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

容易找到。但是我不知道如何找到。您能提供一些提示吗？ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

到目前为止我得到了什么

我想通过对称找到。但这与因为可能不等于。因此，我需要其他一些想法来找到期望。 $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$

这个问题来自哪里

数学堆栈交换中的一个问题要求上的单位均匀随机向量的方差。我的推导表明，答案非常取决于和对于。由于并且对称，我们只需要知道 $\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ 以获得其他期望。

— 迈克尔·哈迪
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的分布 $X_i^2$ 是卡方（也是gamma的特例）。

的分布由此测试。 $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

对beta平方的期望并不难。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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此答案扩展了@Glen_b的答案。

事实1：如果，，，是独立的标准正态分布随机变量，则它们的平方和具有具有自由度的卡方分布。换句话说， $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

因此，和。 $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

事实2：如果和，则 $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

因此，。 $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

事实3：如果，则和 $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

因此，和

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

最后，

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— 用户603
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@ NP-hard：看来您实际上是在问这个问题以便能够回答这个问题？为什么不就这样说呢？

— joriki '16

@joriki谢谢。我将链接添加到问题。