概率收敛与几乎确定的收敛

我从没真正摸索过这两种收敛方法之间的区别。（或者，实际上，是任何一种不同类型的收敛，但是由于大数的弱定律和强定律，我特别提到了这两种。）

当然，我可以引用每一个的定义，并举例说明它们的不同之处，但是我仍然不太明白。

了解差异的好方法是什么？为什么差异很重要？是否有一个特别令人难忘的例子，区别在于它们？

在我看来，差异很重要，但主要是出于哲学原因。假设您有一些设备，它会随着时间的推移而改善。因此，每次使用设备时，发生故障的可能性都比以前小。

概率收敛表示，随着使用次数达到无穷大，失败的机会变为零。因此，在多次使用设备后，您可以确信它可以正常工作，但仍可能会失败，这是非常不可能的。

融合几乎肯定会更强一点。它说失败的总数是有限的。也就是说，如果随着使用次数达到无穷大而计算失败次数，则将得到有限的次数。其影响如下：随着您越来越多地使用设备，经过一定次数的使用，您将耗尽所有故障。从此设备将完美运行。

正如Srikant所指出的，您实际上并不知道何时用尽所有故障，因此从纯粹的实际角度来看，两种融合模式之间并没有太大的区别。

但是，我个人感到非常高兴的是，例如，存在强而有力的定律，而不仅仅是弱定律。因为现在，进行平均速度可以证明进行光速实验的科学依据。至少从理论上讲，在获得足够的数据之后，您可以任意接近真实的光速。平均过程中不会有任何失败（但是不可能）。

让我澄清一下“平均过程中的失败（但不太可能）”的意思。任意选择。你获得Ñ估计X 1，X 2，... ，X Ñ光（或一些其它量）的速度的，它有一些`真”值，即μ。您计算平均值 S n = $\delta > 0$$n$$X_1,X_2,\dots,X_n$$\mu$ 正如我们获得更多的数据（Ñ增加），我们可以计算小号ñ每个Ñ=1，2，...。弱法律上说（下对某些假设Xñ）的概率 P（|小号ñ-μ|>δ）→0 作为ñ转到∞。该法强说的次数是| 小号

$$S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k.$$ $n$$S_n$$n = 1,2,\dots$$X_n$ $$P(|S_n - \mu| > \delta) \rightarrow 0$$ $n$$\infty$大于 δ是有限的（概率为1）。也就是说，如果我们定义指示符函数余（| 小号ñ - μ | > δ ）返回一个当 | 小号ñ - μ | > δ，否则为零，然后 ∞ ＆Sigma; ñ = 1我（| 小号ñ - μ | > δ ） 收敛。这使您对 S n的值充满信心$|S_n - \mu|$$\delta$$I(|S_n - \mu| > \delta)$$|S_n - \mu| > \delta$ $$\sum_{n=1}^{\infty}I(|S_n - \mu| > \delta)$$ $S_n$，因为它保证（即，概率为1）存在某个有限，使得| 小号ñ - μ | 对于所有n > n 0 < δ（即，对于n > n 0，平均值永远不会失败）。请注意，法律薄弱并不能提供此类保证。$n_0$$|S_n - \mu| < \delta$$n > n_0$$n > n_0$

我知道这个问题已经回答了（我认为很好），但是这里有一个不同的问题，它的评论@NRH提到了图形说明，而不是将图片放在那里似乎更适合把它们放在这里。

所以，这里。它不像R包那么酷。但是它是独立的，不需要订阅JSTOR。

$X_{i}= \pm 1$

$$\frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},\quad n=1,2,\ldots.$$

该SLLN（收敛几乎肯定）说，我们可以100％肯定该曲线延伸起飞的权利最终会在某个有限的时间内，完全在带之内就会永远之后（右侧）。

下面是用于生成该图形的R代码（为简洁起见，省略了图形标签）。

n <- 1000;  m <- 50; e <- 0.05
s <- cumsum(2*(rbinom(n, size=1, prob=0.5) - 0.5))
plot(s/seq.int(n), type = "l", ylim = c(-0.4, 0.4))
abline(h = c(-e,e), lty = 2)

---

$n$

紧随其后的是图表的R代码（再次跳过标签）。

x <- matrix(2*(rbinom(n*m, size=1, prob=0.5) - 0.5), ncol = m)
y <- apply(x, 2, function(z) cumsum(z)/seq_along(z))
matplot(y, type = "l", ylim = c(-0.4,0.4))
abline(h = c(-e,e), lty = 2, lwd = 2)

我了解如下

概率收敛

随机变量序列等于目标值的概率渐近地减小并且接近0，但实际上从未达到0。

几乎可以收敛

随机变量的序列将渐近等于目标值，但是您无法预测它将在什么时候发生。

$\equiv$

在维基既有的一些例子，这应有助于澄清上述（尤其见收敛的概率在上下文中和几乎处处收敛的背景下，慈善的例子中，弓箭手的例子）。

从实际的角度来看，概率收敛就足够了，因为我们并不特别在乎不太可能发生的事件。例如，估计量的一致性本质上是概率收敛。因此，当使用一致的估计时，我们隐含地承认一个事实，即在大样本中，我们的估计与真实值相差甚远的可能性很小。我们生活在概率收敛的“缺陷”中，因为我们知道，渐近地估计量远离事实的概率很小。

如果您喜欢视觉上的解释，美国统计学家（American Statistician）上有一篇关于该主题的不错的“教师角”文章（以下引用）。作为奖励，作者提供了R包以促进学习。

@article{lafaye09,
  title={Understanding Convergence Concepts: A Visual-Minded and Graphical Simulation-Based Approach},
  author={Lafaye de Micheaux, P. and Liquet, B.},
  journal={The American Statistician},
  volume={63},
  number={2},
  pages={173--178},
  year={2009},
  publisher={ASA}
}

最后一个人解释得很好。如果采用概率为1 / n的随机变量Xn = 1序列，否则为零。可以很容易地看到限制，使其收敛到零概率，但是几乎不能确定收敛。正如他所说，概率并不在乎我们可能会一路走下去。几乎可以肯定。

几乎可以肯定地暗示着概率趋同，但不是相反吗？

有助于我理解差异的一件事是以下等价

$P({\lim_{n\to\infty}|X_n-X|=0})=1 \Leftarrow \Rightarrow \lim_{n\to\infty}({\sup_{m>=n}|X_m-X|>\epsilon })=0$ $\forall \epsilon > 0$

比较随机收敛：

$\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\epsilon) = 0$ $\forall \epsilon >0$

当将上等值的右侧与随机收敛进行比较时，我认为差异变得更加明显。