二项式条件下未来成功比例的预测间隔

假设我拟合了二项式回归并获得了点估计和回归系数的方差-协方差矩阵。这样一来，我就可以为将来的实验的预期成功比例获得CI ，但是我需要为观察到的比例获得CI。已经发布了一些相关的答案，包括模拟（假设我不想这样做）和指向Krishnamoorthya等人的链接（并不能完全回答我的问题）。$p$

我的推理如下：如果仅使用二项式模型，则不得不假定是从正态分布中采样的（具有相应的Wald CI），因此不可能以封闭形式获得观察比例的CI。如果我们假设p是从beta分布中采样的，那么事情就容易多了，因为成功次数将遵循Beta-Binomial分布。我们将不得不假设估计的beta参数α和β没有不确定性$p$$p$$\alpha$$\beta$。

有三个问题：

1）理论上：仅使用beta参数的点估计值可以吗？我知道在多元线性回归中构造CI以便将来观察

$Y = x'\beta + \epsilon, \epsilon \sim N(0, \sigma^2)$

他们这样做的WRT误差项方差，。我把它（如果我错了纠正我）的理由是，在实践中σ 2估计比回归系数远远更高的精度，我们不会得到太多的试图将不确定性σ 2。类似的理由适用于估计的beta参数α和β吗？$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$$\alpha$$\beta$

2）哪种软件包更好（R：gamlss-bb，betareg，odd ？；我也可以使用SAS）。

3）给定估计的beta参数，是否有（近似）捷径来获得未来成功计数的分位数（2.5％，97.5％），或者更好的是，根据Beta-Binomial分布获得未来成功的比例。

我将解决这个问题的所有三个部分。

有两个混淆的问题，首先是在这种情况下用于拟合回归模型的方法。第二个是如何将估计值与估计值间隔开来以预测新的估计值。

如果您的响应变量是二项分布的，则通常将使用逻辑回归或概率回归（glm与正常cdf作为链接函数）。

$y_i/n_i$

x<- rnorm(100, sd=2)
prob_true <- 1/(1+exp(-(1+5*x)))
counts <- rbinom(100, 50,prob_true)
print(d.AD <- data.frame(counts,x))
glm.D93 <- glm(counts/50 ~ x, family = binomial() )

对于线性回归模型，预测间隔的公式为：

$\hat{y}_i \pm t_{n-p}s_y\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_i-\bar{x})^2}{(n-1)s^2_x}}$

您可以将线性回归模型用作glm的近似值。为此，在进行逆链接转换以使概率重新回到0-1规模之前，您需要为预测变量的线性组合建立线性回归公式。执行此操作的代码已包含在predict.glm（）R函数中。这是一些示例代码，它们也会绘制出一个漂亮的图。（编辑：此代码用于置信区间，而不是预测区间）

y_hat <- predict(glm.D93, type="link", se.fit=TRUE)
t_np<- qt(.975, 100-2, ncp=0)

ub <- y_hat$fit + t_np * y_hat$se.fit
lb <- y_hat$fit - t_np * y_hat$se.fit

point <- y_hat$fit

p_hat <- glm.D93$family$linkinv(point)
p_hat_lb <- glm.D93$family$linkinv(lb)
p_hat_ub <- glm.D93$family$linkinv(ub)

plot(x,p_hat)
points(x, p_hat_ub, col='red')
points(x, p_hat_lb, col='blue')

您可以对任何glm（例如，泊松，逆高斯，伽玛等）执行相同的操作。在每种情况下，都应按预测变量线性组合的尺度来进行预测间隔。获得预测间隔的两个端点后，可以通过反向链接转换这些端点。对于我提到的每种glms，反向链接可能与我在此处编写的logit情况不同。希望这可以帮助。