正弦和余弦之间的相关性

假设 $X$ 均匀地分布在 $[0, 2\pi]$ 。让 $Y = \sin X$ 和 $Z = \cos X$ 。证明 $Y$ 和之间的相关性 $Z$ 为零。

看来我需要知道正弦和余弦的标准偏差及其协方差。我该如何计算？

我认为我需要假设 $X$ 具有均匀的分布，然后看一下转换后的变量 $Y=\sin(X)$ 和 $Z=\cos(X)$ 。然后潜意识统计学家的定律将给出期望值

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ 和

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

（密度是恒定的，因为它是均匀的分布，因此可以从积分中移出）。

但是，这些积分没有定义（但我认为柯西主值是零）。

我该如何解决这个问题？我想我知道解决方案（相关性为零，因为正弦和余弦具有相反的相位），但是我找不到如何导出它。

— 乌克兰
source

如上所述，您的问题定义不充分。关联是一个适用于随机变量而非函数的概念。（通常，随机变量是一种函数，即从概率空间到配备Borel测度的实数的可测量函数。但是，仅说“正弦函数”并不能告诉您有关正弦函数的概率测度的任何信息。域，这是使您获得概率信息（包括联合分布）的

— 原因

如果我假设时间是一个统一的随机变量（在我的文本中为

），那么不可能吗？我的意思是，然后我将查看两个转换后的随机变量的相关性。

X

$X$

— uklady '16

因此，您希望

均匀分布，然后定义

和

？很好，除非您还需要指定

密度的支持，因为在整个或任何其他无限长的间隔内没有统一的分布。

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologist

也许我可以采用作为支持（我假设，所以间隔包含一个完整的周期）。我猜想集成问题也将消失

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— -uklady

如果这样做，则只需要绘制散点图即可-无需集成。该散点图是单位圆上的均匀分布（显然）。由于圆在通过原点的任何反射下都是对称的，因此相关性等于其负值，因此它必须为零QED。

— ub

Answers:

以来

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$