如果随机变量的值范围是有界的，我们如何获得正态分布为？

假设我们有一个随机变量，其值的范围由和界定，其中是最小值，是最大值。b a $a$$b$$a$$b$

有人告诉我，，其中是我们的样本大小，我们样本均值的抽样分布是正态分布。也就是说，当我们增加我们越来越接近正态分布，但实际极限是相等的正态分布。ñ ñ ñ →交通$n \to \infty$$n$$n$$n \to \infty$

但是，它不是必须从扩展到的正态分布的定义的一部分吗？$- \infty$$\infty$

如果我们范围的最大值为，则最大样本均值（与样本大小无关）将等于，最小样本均值将等于。b $b$$b$$a$

因此在我看来，即使当接近无穷大时采用极限，我们的分布也不是实际的正态分布，因为它受和。一个$n$$a$$b$

我想念什么？

这就是你所缺少的。渐近分布不是（样本均值），而是，其中是的均值。$\bar{X}_n$θ$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$$\theta$$X$

令是同义随机变量，和具有均值和方差。因此获得了有限的支持。CLT表示 一个< X 我 < b X 我 θ σ 2 X 我$X_1, X_2, \dots$$a < X_i <b$$X_i$$\theta$$\sigma^2$$X_i$

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$$

其中是样本均值。现在$\bar{X}_n$

$$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$$

如，下界和上界趋于和分别，因此作为的支撑就是整个实线。- ∞ ∞ ñ →交通∞ $n \to \infty$$-\infty$$\infty$$n \to \infty$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

在实践中，无论何时使用CLT，我们都说，这将始终是一个近似值。$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

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编辑：我认为部分困惑是由于对中心极限定理的误解。您认为样本均值的抽样分布为

$$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$$

但是，采样分布是有限的采样属性。就像你说的，我们要让 ; 一旦执行，符号将是精确的结果。但是，如果我们让，我们将不能再在右边有（因为现在是）。因此，以下语句不正确$n \to \infty$$\approx$$n \to \infty$$n$$n$$\infty$

$$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$$

[这里代表分布的趋同]。我们想要准确地写下结果，所以不在右边。现在我们在这里使用随机变量的属性来获取$\overset{d}{\to}$$n$

$$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$$

要了解代数的工作原理，请看这里的答案。

如果您指的是中心极限定理，请注意将其写出的一种正确方法是

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

在正常条件下（是的平均值和标准偏差）。$\mu, \sigma$$x_i$

使用这个正式定义，您可以立即看到，如果给定足够大的，则左侧可以在任何有限范围内取值。$n$

为了帮助连接到该“平均接近正态分布大型正规理念 ”，我们需要认识到，“接近正态分布”的意思是CDF的get任意接近一个正态分布变大。但是随着变大，该近似分布的标准偏差会缩小，因此近似正态的极端尾部的可能性也变为0。$n$$n$$n$

例如，假设。然后，您可以使用非正式近似来表示$X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

因此，对于任何有限的，$n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

（暗示近似值显然永远不会是完美的），如，$n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

因此，实际分布和近似分布之间的差异正在消失，这与近似值一样。