如何获得非PCA特征向量的向量的“特征值”（解释方差的百分比）？

我想了解如何获取数据集的方差百分比，而不是在PCA提供的坐标空间中，而是在稍微不同的一组（旋转）向量上。

set.seed(1234)
xx <- rnorm(1000)
yy <- xx * 0.5 + rnorm(1000, sd = 0.6)
vecs <- cbind(xx, yy)
plot(vecs, xlim = c(-4, 4), ylim = c(-4, 4))
vv <- eigen(cov(vecs))$vectors
ee <- eigen(cov(vecs))$values
a1 <- vv[, 1]
a2 <- vv[, 2]
theta = pi/10
rotmat <- matrix(c(cos(theta), sin(theta), -sin(theta), cos(theta)), 2, 2)
a1r <- a1 %*% rotmat
a2r <- a2 %*% rotmat
arrows(0, 0, a1[1], a1[2], lwd = 2, col = "red")
arrows(0, 0, a2[1], a2[2], lwd = 2, col = "red")
arrows(0, 0, a1r[1], a1r[2], lwd = 2, col = "green3")
arrows(0, 0, a2r[1], a2r[2], lwd = 2, col = "green3")
legend("topleft", legend = c("eigenvectors", "rotated"), fill = c("red", "green3"))

因此，基本上我知道由PCA给出的数据集沿每个红色轴的方差由特征值表示。但是我怎么能得到等价的方差，总计相同的数量，但是将两个不同的轴投影为绿色，它们是主成分轴的pi / 10旋转。IE给定了从原点开始的两个正交单位矢量，我如何才能沿每个任意（但正交）轴获取数据集的方差，从而考虑所有方差（即“特征值”的总和与PCA）。

$X$$n$$d$$\{v_1, ..., v_k\}$$v_i$$\text{Var}(X v_i)$

$k = d$$k < d$

$R^2$$S$

这只是沿原始尺寸的投影总和与方差之比。

$R^2$$i$$x_{(i)}$$V$$i$$V$$p_{(i)} = x_{(i)} V$$k < d$$\hat{x}_{(i)} = p_{(i)} V^T$

$R^2$$\text{MSE}$$\text{Var}_{\text{total}}$$R^2 = 1 - \text{MSE} / \text{Var}_{\text{total}}$$E$$S$

$S$$R^2$

$R^2$$k = d$$R^2$$k < d$$R^2$