法线的二次形式的分布

我试图找出这里，IID我知道，单独服用各条款，和

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

但是我不确定（*）的分布

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— 陈在雷
source

欢迎来到我们的网站！这是课程或教科书中的问题吗？如果是这样，请添加[self-study]标签并阅读其wiki。否则，很有趣的是要知道在什么情况下会出现此问题。感谢您向我们展示您所做的事情以及您遇到的困难

— Silverfish

@Silverfish不，这只是我要弄清楚的事情。我将问题简化为这个简单的问题。恐怕我原来的问题要复杂得多！因此，我尝试只询问我真正需要帮助的部分。但是，如果这看起来像是一本教科书上的问题，我将非常有兴趣学习哪种文本，希望它能提供相关信息：）

— Zailei Chen

那似乎很明智！另外，感谢您使用Latex排版，我们始终感谢您的努力

— Silverfish

这是一个尝试：

$Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

我不确定是否可以将其简化为可移植的MGF。

— 权利扭曲
source

stats.stackexchange.com/questions/72479上出现了一些关于更一般情况的讨论，并参考了提供近似值的论文。

— ub