两个相关多元正态随机变量的线性组合

假设我们有两个随机变量向量，它们都是正常的，即和。我们对它们的线性组合的分布感兴趣，其中和是矩阵，是向量。如果和独立，则。问题是在从属情况下，假设我们知道任何一对的相关性。谢谢。 $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

最好的祝福，伊万

probability normal-distribution multinomial

— 伊万
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Answers:

在这种情况下，您必须编写（希望用清晰的符号表示）（编辑：假定联合正态性）然后和即

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— 西安
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万一它被忽略了，请注意，另一个回复的注释线程表明（a）这些协方差计算很好（了解它们涉及自然的但未声明的块矩阵表示法），但是（b）我们不能有效地得出线性组合通常是正常的结论。分发，直到我们做出其他假设为止；即和具有共同的多元正态分布。

X

$X$

Y

$Y$

— ub

您能否解释一下如何从到最后一行的？我本以为和结果不会进一步简化。这里是不因为其对称矩阵个元件被而它的个元素是，并且没有理由为什么这些协方差必须相等。

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

— Dilip Sarwate'2

@DilipSarwate：（+1）您是正确的，在一般情况下，没有理由使这两个术语相等。

— 西安

除非您假设和与协方差右上角块共同正态分布，否则您的问题没有当前提出的唯一答案。我想您的意思是因为您说您在X和Y之间具有每个协方差。在这种情况下，我们可以写，这也是多元正态。则以为： $X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

然后，您可以使用通常的公式进行线性组合。请注意，平均值没有变化，但协方差矩阵有两个额外的项 $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— 概率逻辑
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感谢您指出了这个问题，实际上，我什至没有想到，但就我而言，即使变量的组成部分相互关联，但似乎确实可以将它们视为联合正态分布。

— 伊万

我同意这个问题不能像提出的那样解决。如果像@西安的回答那样假设和共同正态分布，则可以以一种简单的方式解决。如果将关节分布指定为关节法线以外的其他物体，则可以解决问题，可能难度更大。但是，仅仅知道对于所有，并不意味着是多元正常。具有有限方差的任意两个随机变量具有协方差。协方差不仅限于普通或联合普通随机变量。

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$

— Dilip Sarwate'2

就我而言，X和Y共同正常，我将尝试解释原因，如果我错了，请纠正我。假设有一组独立的单变量正态rv。X和Y的每个元素都是集合中这些单变量的任意线性组合。因此，由于初始变量是独立的，并且仅涉及线性变换，因此所得向量X，Y和Z均为多元正态rv。它遵循多元正态rv的定义，其中对于任何向量均应为单变量正态rv 。是否有意义？

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

— 伊万（Ivan）

@Ivan您的解释很合理，但投诉是关于“假设我们有两个随机变量向量，两个向量都是正常的，即和“，这并不意味着该和是共同正常。也不会说，“我们知道，任何对的相关 ”是指和是共同正常尽管作为你正确的状态，意味着是正常的（对于也是类似的。）单变量正态性

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$ 并不表示关节正常。请参阅下面的参考。

— Dilip Sarwate'2

@Ivan查看此问题之后

— Dilip Sarwate'2