A与B正相关。

C是A和B的结果，但A对C的影响为负，而B对C的影响为正。

这会发生吗？

其他答案确实很棒-它们提供了现实生活中的例子。

我想解释为什么尽管我们凭直觉却会发生这种情况。

看到几何！

相关是矢量之间的角度的余弦值。本质上，您是在问是否有可能

• $A$与 B成锐角（正相关）$B$
• $B$与 C成锐角（正相关）$C$
• $A$与 C成钝角（负相关）$C$

当然是：

在此示例中（$\rho$表示相关性）：

• $A=(0.6,0.8)$
• $B=(1,0)$
• $C=(0.6,-0.8)$
• $\rho(A,B)=0.6>0$
• $\rho(B,C)=0.6>0$
• $\rho(A,C)=-0.28<0$

您的直觉是对的！

但是，您的惊喜不会放错地方。

向量之间的角度是单位球面上的距离度量，因此可以满足三角形不等式：

$$\measuredangle AB \le \measuredangle AC + \measuredangle BC$$

因此，由于$\cos \measuredangle AB = \rho(A,B)$，

$$\arccos\rho(A,B) \le \arccos\rho(A,C) + \arccos\rho(B,C)$$

因此（因为$\cos$被减小上$[0,\pi]$）

$$\rho(A,B)\ge\rho(A,C)\times\rho(B,C) - \sqrt{(1-\rho^2(A,C))\times(1-\rho^2(B,C))}$$

所以，

• 如果$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.9$，则$\rho(A,B)\ge 0.62$
• 如果$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.95$，则$\rho(A,B)\ge 0.805$
• 如果$\rho(A,C)=\rho(B,C)=0.99$，则$\rho(A,B)\ge 0.9602$

是的，两种同时发生的情况可能产生相反的效果。

例如：

• 做出离谱的陈述（A）与娱乐（B）正相关。
• 做出残酷的言论（A）对赢得选举（C）有负面影响。
• 娱乐性（B）对赢得选举（C）有积极影响。

我听说过这种汽车类比，非常适用于以下问题：

• 上坡驾驶（A）与驾驶员踩汽油（B）成正相关
• 上坡驾驶（A）对车速（C）有负面影响
• 踩汽油（B）对车速（C）有积极影响

此处的关键是驾驶员保持恒定速度（C）的意图，因此，A和B之间的正相关性自然就是该意图。您可以以此关系构造A，B，C的无尽示例。

类比来自对米尔顿·弗里德曼（Milton Friedman）的恒温器的解释，来自对货币政策和计量经济学的有趣分析，但这与问题无关。

是的，通过仿真可以很轻松地进行演示：

模拟两个正相关的变量A和B：

> require(MASS)
> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(10,3,3,2),2,2)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0, 2), Sigma))
> names(dt) <- c("A","B")
> cor(dt)

          A         B
A 1.0000000 0.6707593
B 0.6707593 1.0000000

创建变量C：

> dt$C <- dt$A - dt$B + rnorm(1000,0,5)

看哪：

> (lm(C~A+B,data=dt))

Coefficients:
(Intercept)            A            B  
    0.03248      0.98587     -1.05113  

$\operatorname{cor}(A,B) > 0$$\operatorname{cor}(A,C) > 0$$\operatorname{cor}(B,C) < 0$

> set.seed(1)
> Sigma <- matrix(c(1,0.5,0.5,0.5,1,-0.5,0.5,-0.5,1),3,3)
> dt <- data.frame(mvrnorm(n = 1000, rep(0,3), Sigma, empirical=TRUE))
> names(dt) <- c("A","B","C")
> cor(dt)
    A    B    C
A 1.0  0.5  0.5
B 0.5  1.0 -0.5
C 0.5 -0.5  1.0

$$C = mB + n (A-proj_B(A))$$

$$\left<C,A\right> = m\left<B,A\right> + n\left<A,A\right> -n \left<B,A\right>$$

然后，在两个条件下，C和A之间的协方差可能为负：

1. $n>m,\ \left<A,A\right> < \left<B,A\right> (n-m)/n$
2. $n<-m,\ \left<A,A\right> > \left<B,A\right> (n-m)/n$