模拟板球保龄球手击球手

我有一个数据集，详细介绍了许多板球比赛（数千场）。在板球比赛中，“保龄球手”反复向“蝙蝠侠”接连投球。圆顶硬礼帽试图使击球手“离开”。在这方面，它与棒球中的投手和击球手非常相似。

如果我将整个数据集除以击球手得到的球的总数除以保龄球的总数，我可以看到投球手得到击球手的平均概率为-大约为0.03（希望我没有错吗？）

我感兴趣的是我可以做些什么，以尝试计算下一个球上某个特定的投球手被一个特定的投球手击出的概率。

数据集足够大，以至于任何给定的投球手都可以将数千个球投向各种击球手。因此，我相信我可以简单地将投球手的出球次数除以他投球的次数，从而计算出该特定投球手从下一个球出局的新概率。

我的问题是数据集不够大，无法保证给定的投球手在给定的击球手处投了统计上显着数量的球。因此，如果我对计算特定投球手面对特定板球手的出局概率感兴趣，我认为这不可能以同样简单的方式完成。

我的问题是以下方法是否有效：

• 在整个数据集中，球出局的概率为0.03。

• 如果我计算出平均礼帽A有超过0.06的概率（即，平均礼帽的两倍），

• 并且平均而言，击球手B的概率超过0.01（是平均击球手的三分之一），

• 那么可以说那个特定的击球手在那个特定的投球手的下一个球上出球的概率是0.06 *（0.01 / 0.03）= 0.02吗？

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}$

如果我将整个数据集除以击球手得到的球的总数除以保龄球的总数，我会发现我有一个常礼帽投球手的平均概率-大约为0.03（希望我没有错吗？）

不幸的是，这可能已经不是您想要的。

假设我们有一个投球手和两个击球手：唐·布拉德曼和我。（我对板球知之甚少，所以如果我在这里做点事儿，让我知道。）这些游戏就像：

• 唐去击球，进入第99碗。
• 我去击球，马上就出去了。
• 唐去击球，进入第99碗。
• 我去击球，马上就出去了。

在这种情况下，200个碗中有4个出局，因此，投球手将击球手带出的边际概率估计为4/200 = 2％。但是实际上，唐的出现概率更像是1％，而我的概率是100％。因此，如果您随机选择一个击球手和一个投球手，那么这个投球手这次让这个击球手出局的可能性就更像是（您有50％的机率选了唐，*）（有1％的机率，他下了机）+（有50％的机率，您选了我）*（我有100％的机会脱身）= 50.05％。但是，如果您随机选择一个音高，则有2％的机会退出。因此，您需要仔细考虑要考虑的采样模型。

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无论如何，您的建议并不疯狂。更具象征意义的是，让为投球手，为击球手；让是在概率得到出来。然后你说：$b$$m$$f(b, m)$$b$$m$

$$f(b, m) = \frac{\E_{m'}[ f(b, m') ] \E_{b'}[ f(b', m) ]}{\E_{b', m'}[ f(b', m') ]} .$$

这确实具有所需的属性： 如果仅对或进行均值运算，则同样是一致的。

$$\E_{b,m}[f(b, m)] = \frac{\E_{b,m'}[ f(b, m') ] \E_{b',m}[ f(b', m) ]}{\E_{b',m'}[ f(b', m') ]} = \E_{b,m}[ f(b, m) ] ;$$ $b$$m$

请注意，在这种情况下，我们可以分配 您的假设是，您可以从数据中很好地观察和。只要（a）您有足够的游戏[您所做的]和（b）玩家都以合理相似的频率互相玩游戏，那么就可以了。

$$\begin{gather} C := \E_{b, m}[f(b, m)] \\ g(b) := \E_{m}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ h(m) := \E_{b}[f(b, m)] / \sqrt{C} \\ \text{so that } f(b, m) = g(b) \, h(m) .\end{gather}$$ $g(b)$$h(m)$

详细介绍一下（b）：假设您有一些职业游戏的数据，以及我和朋友一起玩的一系列游戏的数据。如果没有重叠，也许与朋友们相比我看起来真的很棒，所以也许您认为我比最差的职业球员好得多。这显然是错误的，但是您没有任何数据可以反驳。但是，如果您有一点重叠之处，那么我曾经和一位职业玩家对战过一次而被淘汰，那么数据确实支持我和我的朋友的排名一直都比职业选手差，但是您的方法并不能说明问题。从技术上讲，这里的问题是您假设您有一个很好的样本，例如，但是您的分布是有偏差的。$\E_{b'}[f(b', m)]$$b'$

当然，您的数据看起来不会很糟糕，但是取决于联盟的结构或其他因素，它可能包含该问题的某些要素。

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您可以尝试使用其他方法来解决它。该模型为实际上是低等级的普通矩阵分解模型的实例协同过滤，如Netflix的问题。在这里，选择函数和的维数为，并表示。您可以将解释为使模型从单一的“质量”得分复杂化为具有多个维度的得分：也许某些投球手在对抗某些类型的板球运动员时表现更好。（例如针对NBA游戏已完成此操作。）$f$$g(b)$$h(m)$$r$$f(b, m) = g(b)^T h(m)$$r>1$

之所以称它们为矩阵分解，是因为如果您制作的矩阵行数与圆顶礼帽相同，而列数与击球手一样多，则可以这样写：$F$

$$\underbrace{\begin{bmatrix} f(b_1, m_1) & f(b_1, m_2) & \dots & f(b_1, m_M) \\ f(b_2, m_1) & f(b_2, m_2) & \dots & f(b_2, m_M) \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ f(b_N, m_1) & f(b_N, m_2) & \dots & f(b_N, m_M) \end{bmatrix}}_{F} = \underbrace{\begin{bmatrix} g(b_1) \\ \vdots \\ g(b_N) \end{bmatrix}}_{G} \underbrace{\begin{bmatrix} h(m_1) \\ \vdots \\ h(m_M) \end{bmatrix}^T}_{H^T}$$ ，在这里您已将 ×矩阵分解为 ×个和 ×个。$N \times M$$F$$N \times r$$G$$M \times r$$H$

当然，您不能直接观察通常的模型是您可以随机观察噪声条目；在您的情况下，您将观察到从每个项随机抽取的二项式分布的平局。$F$$F$$F$

您可以构建一个概率模型，例如：

$$\begin{gather} G_{ik} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_G^2) \\ H_{jk} \sim \mathcal{N}(0, \sigma_H^2) \\ F_{ij} = G_i^T H_j \\ R_{ij} \sim \mathcal{Binomial}(n_{ij}, F_{ij}) \end{gather}$$ 在其中观察到和，并且您可能会在 /放置一些超级并进行推断，例如在Stan中。$n_{ij}$$R_{ij}$$\sigma_G$$\sigma_H$

这不是一个完美的模型：对于一个模型，它忽略了与得分相关（如我在第一部分中提到的），更重要的是，它并不约束在（您可能会使用Logistic乙状结肠或类似的工具来实现此目的）。相关文章中，和先验更复杂（但未使用二项式似然）：Salakhutdinov和Mnih，使用马尔可夫链蒙特卡罗，贝叶斯概率矩阵分解，ICML，2008年。（doi / 作者pdf）˚F 我Ĵ [ 0 ，1 ] ģ $n$$F_{ij}$$[0, 1]$$G$$H$

如果A和B仅根据他们与其他玩家的平均水平从未在场上相遇，就无法推断出B是保龄球手的正确概率。