为什么ecdf使用阶跃函数而不是线性插值？

经验CDF函数通常由阶跃函数估算。是否有理由这样做而不是使用线性插值？阶跃函数是否具有使我们更喜欢它的任何有趣的理论特性？

这是两个的示例：

ecdf2 <- function (x) {
  x <- sort(x)
  n <- length(x)
  if (n < 1) 
    stop("'x' must have 1 or more non-missing values")
  vals <- unique(x)
  rval <- approxfun(vals, cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 
                    method = "linear", yleft = 0, yright = 1, f = 0, ties = "ordered")
  class(rval) <- c("ecdf", class(rval))
  assign("nobs", n, envir = environment(rval))
  attr(rval, "call") <- sys.call()
  rval
}


set.seed(2016-08-18)
a <- rnorm(10)
a2 <- ecdf(a)
a3 <- ecdf2(a)

par(mfrow = c(1,2))
curve(a2, -2,2, main = "step function ecdf")
curve(a3, -2,2, main = "linear interpolation function ecdf")

r distributions ecdf

— 塔尔·加利利
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相关 .................................................

“ ...由阶跃函数估计”掩盖了一个细微的误解：ECDF不仅由阶跃函数估计；它是通过定义这样的功能。它与随机变量的CDF相同。具体来说，给定任意有限的数字序列，请定义一个概率空间其中，离散和统一。令为将分配给的随机变量。ECDF是的CDF 。

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

(Ω, S, P)

$(\Omega,\mathfrak{S},\mathbb{P})$

Ω = {1, 2, \dots, n}

$\Omega=\{1,2,\ldots, n\}$

S

$\mathfrak{S}$

P

$\mathbb{P}$

X

$X$

x_{i}

$x_i$

i

$i$ $X$ 这种巨大的概念简化是对该定义的令人信服的论点。

— ub

根据定义。

一组观测值的经验分布函数定义为 $(X_n)$

F_{e} (t) = \frac{# {X_{n} ∣ X_{n} \leq t}}{n}

$F_e(t) = \frac{\#\{X_n \mid X_n \le t\}}n$

其中是设置的基数。从本质上讲，这是一个阶跃函数。它几乎可以肯定地收敛到实际的CDF 。 $\#$

还要注意，对于至少两个任何分布（尤其是非退化的离散分布），您的ECDF变体不会收敛到实际CDF。例如，考虑CDF的伯努利分布 $P(X = x) \ne 0$ $x$

F_{X} (x) = p χ_{x \geq 0} + (1 - p) χ_{x \geq 1}

$F_X(x) = p \chi_{x \ge 0} + (1-p) \chi_{x \ge 1}$ 这是一个阶跃函数，而ecdf2将收敛到（连接和的分段线性函数。

χ_{x \geq 0} \cdot (p + (1 - p) min (x, 1))

$\chi_{x\ge 0} \cdot (p + (1-p)\min(x, 1))$

(0, p)

$(0,p)$

(1, 1)

$(1,1)$

— 亚历克斯
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谢谢亚历克斯。那么我写的函数还有别的名字吗？（因为我想它也会收敛到实际的CDF）

— Tal Galili

@TalGalili不是。考虑伯努利分布。在这种情况下，您的ecdf2将不会收敛。您可以称其为平滑的ecdf。我怀疑它会收敛到实际的CDF，前提是实际的CDF除了极值点（您不平滑的点）之外没有没有非零概率的点

— AlexR

@AlexR，您可以编辑答案以添加此注释，因为离散分布是这种确定的原因 -因此它回答了“为什么”问题。

— 蒂姆

@蒂姆完成。

${}{}$

— AlexR

谢谢。有没有一种方法可以定义一个连续的经验函数，该函数可以收敛到阶跃函数，但是完全是单调的（即：没有任何尖锐的“跳跃”）？

— Tal Galili