何时使用哪个“平均值”？

因此，我们有算术平均值（AM），几何平均值（GM）和谐波平均值（HM）。它们的数学公式以及相关的定型示例（例如，谐波均值及其在“速度”相关问题中的应用）也是众所周知的。

但是，一个始终让我着迷的问题是：“我如何确定在给定上下文中最适合使用哪种方式？” 必须至少有一些经验法则来帮助理解适用性，但是我遇到的最常见的答案是：“取决于”（但取决于什么？）。

这似乎是一个相当琐碎的问题，但是即使是高中课本也无法解释这个问题-它们仅提供数学定义！

与数学上的解释相比，我更喜欢英文的解释-简单的测试就是“您的妈妈/孩子会理解吗？”

这个答案的数学倾向可能比您想要的要大。

要认识到的重要一点是，所有这些手段都是伪装的算术平均。

识别三种常用方法（算术，几何或谐波）中的哪一种（如果有的话）的重要特征是“正确”的意思是在眼前的问题中找到“加法结构”。

换句话说，假设我们得到了一些抽象量，我将它们称为“测量”，为保持一致性起见，在下面有点滥用此术语。通过（1）将每个转换为，（2）取算术平均值，然后（3）转换回原始的测量范围，可以获得这三种均值。x i y $x_1, x_2,\ldots,x_n$$x_i$$y_i$

算术平均值：显然，我们使用“ identity”转换：。因此，步骤（1）和（3）很简单（什么都不做），并且。ˉ X阿中号 = ˉ $y_i = x_i$$\bar x_{\mathrm{AM}} = \bar y$

几何平均值：这里的可加结构是原始观测值的对数。因此，我们取，然后在步骤（3）中获得GM，我们通过的反函数进行转换，即。登录ˉ X ģ 中号 = EXP （ˉ Ý$y_i = \log x_i$$\log$$\bar x_{\mathrm{GM}} = \exp(\bar{y})$

谐波均值：这里的可加结构是我们观察值的倒数。因此，，。ˉ X ħ 中号 = 1 / ˉ $y_i = 1/x_i$$\bar x_{\mathrm{HM}} = 1/\bar{y}$

在物理问题中，这些问题通常是通过以下过程产生的：与确定的测量值和其他一些量（例如相关的保持固定。现在，我们玩以下游戏：保持和不变，并试图找到一些例如，如果我们更换每一个我们的个人意见由，那么“总”的关系仍然是保守的。x 1，… ，x n z 1，… ，$w$$x_1,\ldots,x_n$瓦特Ž 1 + ⋯ + ž Ñ ˉ X X 我ˉ $z_1,\ldots,z_n$$w$$z_1+\cdots+z_n$$\bar x$$x_i$$\bar x$

距离-速度-时间示例似乎很受欢迎，因此让我们使用它。

恒定距离，变化时间

考虑一个固定的行进距离。现在假设我们以速度行驶了次不同的时间，并花费了时间。我们现在玩我们的游戏。假设我们要用某个固定速度替换我们的各个速度，以使总时间保持恒定。注意，我们有 因此。当我们在游戏中用替换每个时，我们希望保留这种总关系（总时间和总行驶距离）。因此， Ñ v 1，... ，v Ñ 吨1，... ，吨Ñ ˉ v d - v 我吨我 = $d$$n$$v_1,\ldots,v_n$$t_1,\ldots,t_n$$\bar v$∑ i

$$d - v_i t_i = 0 \>,$$ v 我° v Ñ d - ˉ v Σ我吨我 = $\sum_i (d - v_i t_i) = 0$$v_i$$\bar v$吨我 = d / v 我° v = $$n d - \bar v \sum_i t_i = 0 \>,$$ 并且由于每个，我们得到 $t_i = d / v_i$ $$\bar v = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+\cdots+\frac{1}{v_n}} = \bar v_{\mathrm{HM}} \>.$$

请注意，此处的“加法结构”是针对各个时间的，而我们的测量结果与它们成反比，因此应用了谐波均值。

距离可变，时间恒定

现在，让我们改变情况。假设对于实例，我们以速度在距离经过固定时间。现在，我们希望保留总距离。我们有 并且如果则整个系统是守恒的。再次玩游戏，我们寻求一个使得 但是，由于，我们得到 $n$$t$$v_1,\ldots,v_n$$d_1,\ldots,d_n$∑ i

$$d_i - v_i t = 0 \>,$$ $\sum_i (d_i - v_i t) = 0$$\bar v$ $$\sum_i (d_i - \bar v t) = 0 \>,$$ $d_i = v_i t$ $$\bar v = \frac{1}{n} \sum_i v_i = \bar v_{\mathrm{AM}} \>.$$

在这里，我们试图保持的加性结构与我们的测量值成正比，因此采用算术平均值。

等体积的立方体

假设我们构造了一个具有给定体积的维盒子，而我们的测量值就是盒子的边长。然后 并假设我们要构造一个具有相同体积的维（超）立方体。也就是说，我们要用共同的边长替换我们的各个边长。然后 $n$$V$n x 我

$$V = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \>,$$ $n$$x_i$$\bar x$ $$V = \bar x \cdot \bar x \cdots \bar x = \bar x^n \>.$$

这很容易表明我们应该使用。$\bar x = (x_i \cdots x_n)^{1/n} = \bar x_{\mathrm{GM}}$

请注意，加法结构为对数，即，我们尝试保留左手数量。$\log V = \sum_i \log x_i$

旧的新手段

作为练习，请考虑在第一个示例中让距离和时间都变化的情况下的“自然”含义。也就是说，我们具有距离，速度和时间。我们想要保留总的距离和行进时间，并找到一个常数来实现这一目标。v 我吨我° $d_i$$v_i$$t_i$$\bar v$

练习：在这种情况下，“自然”是什么意思？

扩展@Brandon的出色评论（我认为应该提倡回答）：

当您对乘法差异感兴趣时，应使用几何平均值。布兰登指出，范围不同时应使用几何平均值。这通常是正确的。原因是我们要均衡范围。例如，假设大学申请人的SAT分数（0到800），HS的平均成绩（0到4）和课外活动（1到10）得到了评分。如果一所大学希望对这些值求平均值并均衡范围（即每种质量相对于范围的权重增加），那么几何均值将是可行的方法。

但是，当我们使用不同范围的秤时，情况并非总是如此。如果我们比较不同国家（包括穷国和富国）的收入，我们可能不希望几何平均值，而想要算术平均值（或更可能是中位数或修整后的平均值）。

我看到的用于谐波均值的唯一用途是比较速率。例如：如果您以40英里/小时的速度从纽约开车到波士顿，然后以60英里/小时的速度返回，那么您的总体平均值不是 50英里/小时的算术平均值，而是谐波平均值。

$(40 + 60)/2 = 50$$2/(1/40 + 1/60) = 48$

$240/5 = 48$

我将尝试将其简化为3-4个经验法则，并提供更多有关勾股勾股方法的示例。

对于非负数据，这3个均值之间的关系为HM <GM <AM，但有一些变化。当且仅当样本数据完全没有差异时，它们才相等。

对于级别数据，请使用AM。价格就是一个很好的例子。对于比率，请使用GM。投资回报率，像彭博比利指数这样的相对价格（宜家的比利书架在不同国家的价格与美国价格相比）和联合国人类发展指数都是例子。HM适用于处理费率。这是David Giles提供的非汽车示例：

例如，考虑有关“每周工作小时数”（比率）的数据。假设我们有四个人（样本观察），每个人总共工作2000小时。但是，它们每周工作的小时数不同，如下所示：

Person      Total Hours       Hours per Week          Weeks Taken
1                  2,000                  40                   50
2                  2,000                  45                   44.4444
3                  2,000                  35                   57.142857
4                  2,000                  50                   40

Total:           8,000                                       191.587297

第三列中的值的算术平均值为AM =每周42.5小时。但是，请注意该值的含义。将样本成员的工作总周数（8,000）除以该平均值得出的值是188.2353，这是所有四个人工作的总周数。

现在查看上表中的最后一列。实际上，样本成员工作的总周数的正确值为191.5873周。如果我们在表的第三列中计算每周小时数的谐波均值，则HM = 41.75642小时（<AM），将该数字除以8,000小时，得出的正确结果为191.5873工作了几周。在这种情况下，谐波均值为样本平均值提供了适当的度量。

大卫还讨论了三种均值的加权形式，这些均值用于衡量通货膨胀的价格指数中。

除了劫机：

这些ROT并不完美。例如，我经常发现很难弄清是比率还是比率。投资收益通常在计算均值时被视为比率，但由于它们通常以“每单位时间的x％”表示，因此也是一种比率。“当数据是每单位时间的级别时使用HM”会更好吗？

如果您想总结北欧国家的巨无霸指数，您会使用通用汽车吗？

您的问题的一个可能答案（“如何确定在给定上下文中最适合使用哪个均值？”）是意大利数学家Oscar Chisini给出的均值定义。

这是一篇包含更详细说明和一些示例（平均行进速度等）的论文。

我认为回答这个问题的简单方法是：

1. 如果数学结构为xy = k（变量之间的逆关系），并且您正在寻找平均值，则需要使用谐波均值-等于加权算术平均值-考虑一下

谐波平均值= 2ab /（a + b）= a（b / a + b）+ b（a /（a + b）

例如：由于您投资的金额（A）保持固定，但每股价格（P）和股数（N）有所不同（A = PN），因此美元平均成本属于此类别。实际上，如果您将算术平均值视为一个均等地位于两个数字之间的数字，则谐波均值也是一个均等地位于两个数之间的数字，但是（这很好），“中心”是百分比（比率）为等于。即：（x-a）/ a =（b -x）/ b，其中x是谐波平均值。

2. 如果数学结构是y = kx的直接变化，则可以使用算术平均值-在这种情况下，这是谐波平均值减小的结果。