概率的频繁定义；是否存在正式定义？

关于常客在“概率”下理解的内容，是否有任何正式（数学）定义。我读到这是“从长远来看”的相对发生频率，但是是否有一些正式的方法来定义它？在哪里可以找到该定义的已知参考文献？

编辑：

对于常客（请参阅@whuber的评论以及我对答案@Kodiologist和@Graeme Walsh的评论，下面的答案），我的意思是那些“相信”这种长期相对频率存在的人。也许这（部分）也回答了@Tim的问题

probability frequentist definition

请解释一下“常客”的意思。我在其他主题中看到的用法表明许多人对该术语的含义没有一致或清楚的认识。因此，定义将有助于使所有答案保持相关。

— ub

@whuber我猜在大多数情况下，常客的定义是“非贝叶斯”，而贝叶斯的定义是“非贝叶斯” ：）

— 蒂姆

密切相关：en.wikipedia.org/wiki/Empirical_probability

— Silverfish

我要说的是，您可能会对这个stats.stackexchange.com/a/230943/113090感兴趣，但是后来我意识到您是发布该答案的人，所以没关系。无论如何，您的思维过程可能也会引起其他与您（例如我）有相同问题的人的兴趣，“是否存在正式的概率论常客定义”

— Chill2Macht

我不确定自己是否会写出答案，但是我想在这里与我在相关主题下根据您的答案发布的《斯坦福哲学百科全书》上的概率解释链接相同。经常阅读的解释/定义部分是一本好书。它广泛地讨论了各种概念性问题，试图对概率进行频繁定义。

— amoeba

Answers:

TL; DR似乎不可能定义一个与Kolmogorov框架一致的概率的概率论定义，该框架不是完全循环的（即，在循环逻辑的意义上）。

不太长，所以我确实读过：我想解决我认为候选概率论定义中一些潜在问题的可能性首先，只能合理地解释为一个随机变量，因此上面的表述没有严格意义上的精确定义。我们需要为这个随机变量指定收敛模式，几乎可以肯定地是在概率，分布，均值或均方中。

lim_{n \to \infty} \frac{n_{A}}{n}

$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$

n_{A}

$n_A$

但是所有这些融合概念都需要对定义为有意义的概率空间进行度量。当然，直观的选择是几乎确定要选择收敛性。它具有以下特征：除小数零事件外，限制必须逐点存在。零度量集的构成对于彼此绝对连续的任何度量度量族都将是重合的-这使我们能够定义几乎确定的收敛性概念，从而使上述限制严格，同时仍对底层的含义有所怀疑事件的可测量空间的度量是（即，因为它可以是相对于某些选定度量而言绝对连续的任何度量）。这样可以防止因预先确定给定的度量而引起的定义中的圆形性，

但是，如果我们使用几乎确定的收敛性，则意味着我们将自己局限于强大的大数定律（此后称为SLLN）的情况。让我声明该定理（如Chung第133页所给出），以供参考：

令为一系列独立的，均匀分布的随机变量。然后我们有其中。 $\{X_n\}$
$E | X_{1} | < \infty ⟹ \frac{S_{n}}{n} \to E (X_{1}) a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$ $E | X_{1} | = \infty ⟹ \underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{| S_{n} |}{n} = + \infty a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

因此，假设我们有一个可测量的空间并且我们想要针对某些相互绝对连续的概率度量系列” 定义中某个事件概率。然后，通过Kolmogorov扩展定理或Ionescu Tulcea扩展定理（我认为两者都可行），我们可以构造产品空间族，每个。（请注意，存在无限乘积空间是Kolmogorov定理的结论，要求每个空间的度量为，因此为什么我现在只限于概率度量而不是任意度量）。然后定义 $(X, \mathscr{F})$ $A \in \mathscr{F}$ $\{\mu_i\}_{i \in I}$ $\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$ $\mu_i$ $1$ $\mathbb{1}_{A_j}$ 是指示符随机变量，即，如果在第个副本中出现，则等于否则，等于，换句话说，那么显然（其中表示对期望），因此的强定律实际上适用于（因为通过构造 $1$ $A$ $j$ $0$

n_{A} = 1_{A_{1}} + 1_{A_{2}} + \dots + 1_{A_{n}} .

$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$

0 \leq E_{i} 1_{A_{j}} \leq 1

$0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$

E_{i}

$\mathbb{E}_i$

μ_{i}

$\mu_i$

(\prod_{j = 1}^{\infty} X_{j})_{i}

$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$

1_{A_{j}}

$\mathbb{1}_{A_j}$ 是相同且独立分布的-请注意，独立分布意味着乘积空间的度量相对于坐标度量是可乘的），因此我们得到，因此我们对的概率的定义自然应该是。

\frac{n_{A}}{n} \to E_{i} 1_{A_{1}} a . s .

$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$

A

$A$

μ_{i}

$\mu_i$

E_{1} 1_{A}

$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

然而，我才意识到，即使随机变量序列将相对于收敛几乎肯定要当且仅当它相对于几乎一定收敛到，（其中这并不一定意味着它会收敛到）相同的值 ; 实际上，SLLN保证除非否则它不会。 $\frac{n_A}{n}$ $\mu_{i_1}$ $\mu_{i_2}$ $i_1, i_2 \in I$ $\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

如果在某种意义上“足够规范”，例如说有限集的均匀分布，那么也许效果很好，但实际上并没有给出任何新的见解。特别是，对于均匀分布，，即的概率只是中点或基本事件的比例，属于，对我来说，这似乎又有些循环。对于连续随机变量，我看不到我们如何能够同意的“规范”选择。 $\mu$ $\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$ $A$ $X$ $A$ $\mu$

即，将事件的频率定义为事件的概率似乎是有意义的，但是将事件的概率定义为频率（至少不是循环的）似乎没有意义。这尤其成问题，因为在现实生活中我们实际上并不知道概率是多少。我们必须估计一下。

还要注意，对可测量空间的子集的频率定义取决于所选择的量度是概率空间。例如，由于，因此没有许多度量带有Lebesgue度量的副本。同样，使用规范乘积度量的度量为，如果则将无穷大，或者如果则为零。，即，Kolmogorov和图尔恰的扩展定理是概率度量特有的非常特殊的结果。 $\mathbb{R}$ $\mu(\mathbb{R})=\infty$ $\prod_{j=1}^n X$ $(\mu(X))^n$ $\mu(X) >1$ $\mu(X) <1$

— 寒意2
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感谢您的好评（+1）。我同意长期相对频率的定义存在“问题”，这可能就是科尔莫格洛夫发展他的格兰德格里夫的原因之一。但是，当我们谈论常客时，我们必须将自己置于柯尔莫哥洛夫理论之前的时限内吗？

@fcop我想老实说我不知道。我想我想说的是，我看不出对频率论者对概率的严格理解会导致有用/非循环的定义。

— Chill2Macht

@fcop我真的很感谢慷慨的慷慨-今天我真的很沮丧，然后才收到它。老实说，这让我有些失望（以一种很好的方式）。再次，我真的很感激

— Chill2Macht

不用说，您的答案非常完善并且在数学上合理。

我认为没有数学定义，不是。概率的各种解释之间的区别并不在于数学如何定义概率。可以用这种方式在数学上定义概率：如果是的度量空间，则任何事件的概率仅为。我希望您同意这个定义对于诸如我们应该以常客还是贝叶斯的方式解释概率之类的问题是中立的。 $(Ω, Σ, μ)$ $μ(Ω) = 1$ $S ∈ Σ$ $μ(S)$

— 科迪学家
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很好，但是满足Kolmogorov公理的概率定义非常抽象，需要在特定情况下进行定义。它与“圆是与固定点相距给定距离的一组点”相同。只要您不说自己在哪个度量空间中，它都没有任何意义：您应该说“距离”的定义是什么。我认为将定义为长期相对频率确实符合Kolmogorov的公理，您怎么看？PS @Silverfish的注释中的定义也满足这些公理。

μ

$\mu$

P

$\mathbb{P}$

（续）因此，简而言之，我可以定义（定义为正确的词），许多满足Kolmogorov公理的，根据公理理论，这些都是有效概率。

μ

$\mu$

可以说，Kolmogorov的系统提供了公理基础-不一定需要常客或贝叶斯解释。按照常客主义的精神，基本思想是，随着试验次数的增加，无限次数，经验频率会稳定在某个值附近或趋于某个值。事件的可能性。尽管频率方法改进了经典方法，但缺乏严格性导致公理基础。这更多是关于概率论历史的问题吗？

lim_{n \to \infty} (n_{A} / n) = P_{A} = P (A) .

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(n_{A}/ n\right) = P_A = P(A).$

— Graeme Walsh

@Graeme Walsh：您能否将其放入答案中，并用参数说明为什么的定义与Kolmogorov的公理一致？（当然，人们可以质疑极限的存在，但是我们可以说常客是那些“相信”

P (A)

$P(A)$

@fcop正如Walsh指出的那样，此“定义”并不严格。

— Kodiologist '16