配对t检验是线性混合效应建模的特例

我们知道，配对t检验只是单向重复测量（或对象内）ANOVA以及线性混合效应模型的一种特殊情况，可以用Rme中的lme（）函数的lme（）函数进行演示如下所示。

#response data from 10 subjects under two conditions
x1<-rnorm(10)
x2<-1+rnorm(10)

# Now create a dataframe for lme
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

当我运行以下配对t检验时：

t.test(x1, x2, paired = TRUE)

我得到了这个结果（由于随机生成器，您将得到不同的结果）：

t = -2.3056, df = 9, p-value = 0.04657

使用ANOVA方法，我们可以获得相同的结果：

summary(aov(y ~ x + Error(subj/x), myDat))

# the F-value below is just the square of the t-value from paired t-test:
          Df  F value Pr(>F)
x          1  5.3158  0.04657

现在，对于以下两种情况，假设正定对称对称相关矩阵，我可以在lme中使用以下模型获得相同的结果：

summary(fm1 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.3142115  9 -0.7918878  0.4488
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.3056084  0.0466

或另一个模型，假设两个条件的相关矩阵具有复合对称性：

summary(fm2 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdCompSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.4023431  9 -0.618428  0.5516
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.305608  0.0466

借助配对的t检验和单向重复测量方差分析，我可以将传统的单元均值模型记为

Yij = μ + αi + βj + εij, i = 1, 2; j = 1, ..., 10

其中i索引条件，J索引对象，Y _IJ是响应变量，μ是用于整体平均值的固定效果常数，α _我为条件的固定效果，β _Ĵ为受试者以下N（0随机效应，σ _p ²）（σ _p ²是总体方差），以及ε _IJ是残余以下N（0，σ ²）（σ ²是受试者内方差）。

我以为上面的单元均值模型不适用于lme模型，但是麻烦的是，我无法针对两种具有相关结构假设的lme（）方法提出合理的模型。原因是lme模型似乎比上述单元均值模型具有更多的随机成分参数。至少lme模型还提供完全相同的F值，自由度和p值，而gl不能。更具体地讲，gls给出了不正确的DF，原因是它没有考虑到每个对象都有两次观察的事实，导致DF大大膨胀。在指定随机效果时，lme模型很可能过于参数化，但我不知道该模型是什么，参数是什么。因此，对于我来说，这个问题仍未解决。

可以通过计算来自同一个人的两个观察值之间的相关性来观察模型的等效性，如下所示：

$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$$\beta_j \sim N(0, \sigma_p^2)$$\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$Cov(y_{ik}, y_{jk}) = Cov(\mu + \alpha_i + \beta_k + \epsilon_{ik}, \mu + \alpha_j + \beta_k + \epsilon_{jk}) = Cov(\beta_k, \beta_k) = \sigma_p^2$$Var(y_{ik}) = Var(y_{jk}) = \sigma_p^2 + \sigma^2$$\sigma_p^2/(\sigma_p^2 + \sigma^2)$

但是请注意，这些模型并不完全等效，因为随机效应模型会迫使相关性为正。CS模型和t检验/方差分析模型则没有。

编辑：还有两个其他差异。首先，CS和随机效应模型假定随机效应为正态性，但t检验/方差分析模型则不然。其次，CS和随机效应模型使用最大似然拟合，而方差分析使用均方拟合。当一切平衡时，他们会达成共识，但不一定是在更复杂的情况下。最后，我会警惕使用各种拟合的F / df / p值来衡量模型的一致性。有关更多详细信息，请参见Doug Bates在df上著名的熨平板。（结束编辑）

R代码的问题在于您没有正确指定相关结构。您需要使用gls与corCompSymm相关结构。

生成数据以便产生主观效果：

set.seed(5)
x <- rnorm(10)
x1<-x+rnorm(10)
x2<-x+1 + rnorm(10)
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), 
                    rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

然后，您将了解如何拟合随机效应和复合对称模型。

library(nlme)
fm1 <- lme(y ~ x, random=~1|subj, data=myDat)
fm2 <- gls(y ~ x, correlation=corCompSymm(form=~1|subj), data=myDat)

随机效应模型的标准误差为：

m1.varp <- 0.5453527^2
m1.vare <- 1.084408^2

CS模型的相关性和残差为：

m2.rho <- 0.2018595
m2.var <- 1.213816^2

它们等于预期的值：

> m1.varp/(m1.varp+m1.vare)
[1] 0.2018594
> sqrt(m1.varp + m1.vare)
[1] 1.213816

其他相关结构通常不适合随机效果，而只需指定所需的结构即可。一个常见的例外是AR（1）+随机效应模型，该模型具有随机效应，并且对同一随机效应的观测值之间具有AR（1）相关性。

EDIT2：当我适合这三个选项时，除了gls不会尝试猜测感兴趣项的df之外，我得到的结果完全相同。

> summary(fm1)
...
Fixed effects: y ~ x 
                 Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423  9 -1.461839  0.1778
xx2          2.0772757 0.4849618  9  4.283380  0.0020

> summary(fm2)
...
                 Value Std.Error   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423 -1.461839  0.1610
xx2          2.0772757 0.4849618  4.283380  0.0004

> m1 <- lm(y~ x + subj, data=myDat)
> summary(m1)
...
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  -0.3154     0.8042  -0.392  0.70403   
xx2           2.0773     0.4850   4.283  0.00204 **

（此处的截距不同，因为使用默认编码，它不是所有主题的均值，而是第一个主题的均值。）

还需要注意的是，较新的lme4软件包给出了相同的结果，但甚至没有尝试计算p值。

> mm1 <- lmer(y ~ x + (1|subj), data=myDat)
> summary(mm1)
...
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  -0.5611     0.3838  -1.462
xx2           2.0773     0.4850   4.283

您可能还考虑使用mixed包中的函数afex以Kenward-Roger df近似值返回p值，该值返回相同的p值作为配对的t检验：

library(afex)
mixed(y ~ x + (1|subj), type=3,method="KR",data=myDat) 

要么

library(lmerTest)
options(contrasts=c('contr.sum', 'contr.poly'))
anova(lmer(y ~ x + (1|subj),data=myDat),ddf="Kenward-Roger")