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让我们从考虑普通三次样条开始。它们在每对结之间是立方体,在边界结之外是立方体。我们从第一个立方的4df(第一个边界结的左侧)开始,每个结添加一个新参数(因为三次样条和导数的连续性以及第二个导数添加了三个约束,剩下一个自由参数),使得K结参数。
天然三次样条曲线的两端均为线性。此约束立方和二次部件那里为0,各由1这2 DF在每个曲线的两端的,减少降低了DF 至ķ。
想象一下,您决定可以在非参数曲线估计上花费一定的自由度总数(例如)。由于强加自然样条线所使用的自由度比普通三次样条线少4个(对于相同数量的结),因此使用这些p参数,您可以再有4个结(因此还有4个参数)来模拟边界结之间的曲线。
注意,对于定义为ķ = 1 ,2 ,。。。,K − 2(因为总共有K个基函数)。因此,该列表中的最后一个基函数N K = d K - 2 - d K - 1。所以最高ķ所需的定义d ķ为ķ = ķ - 1。(也就是说,由于我们不使用,因此我们无需尝试找出d K可以做什么。)
我细节断言:“这释放了四个自由度(各在两个边界区域两个约束)”在一个示例节ξ 1,ξ 2。相关的间隔] - ∞ ,ξ 1, ] ξ 1,ξ 2 [和 ] ξ 2,+ ∞ [(所以有 |我| = 3个时间间隔和 |我| - 1 = 2 结)。
对于(普通)三次样条
没有规律性约束,我们有方程式:
对于自然三次样条
“ 自然的三次样条曲线会增加其他约束,即该函数在边界结之外是线性的。”
The constraints are the same as before, so we still need to add constraints on the linear coefficients.
We end up with degree of freedom.