回归的自然三次样条的定义


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我正在从Hastie等人的《统计学习的数据挖掘,推理和预测的要素》一书中学习样条曲线。我在第145页上发现,自然三次样条曲线在边界结之外是线性的。有K结,ξ1,ξ2,...ξK在栓和下面给出关于在书中这样一个样。在此处输入图片说明

问题1:如何释放4个自由度?我没有这部分。

问题2:在定义ķ = ķ然后ð ķX = 0dk(X)k=K。作者在这个公式中想做什么?这如何帮助确保样条曲线在边界结之外是线性的?dK(X)=00

Answers:


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  1. 让我们从考虑普通三次样条开始。它们在每对结之间是立方体,在边界结之外是立方体。我们从第一个立方的4df(第一个边界结的左侧)开始,每个结添加一个新参数(因为三次样条和导数的连续性以及第二个导数添加了三个约束,剩下一个自由参数),使得K结参数。K+4K

    天然三次样条曲线的两端均为线性。此约束立方和二次部件那里为0,各由1这2 DF在每个曲线的两端的,减少降低了DF ķK+4K

    想象一下,您决定可以在非参数曲线估计上花费一定的自由度总数(例如)。由于强加自然样条线所使用的自由度比普通三次样条线少4个(对于相同数量的结),因此使用这些p参数,您可以再有4个结(因此还有4个参数)来模拟边界结之间的曲线。pp

  2. 注意,对于定义ķ = 1 2 K 2(因为总共有K个基函数)。因此,该列表中的最后一个基函数N K = d K - 2 - d K - 1。所以最高ķ所需的定义d ķķ = ķ - 1Nk+2k=1,2,...,K2KNK=dK2dK1kdkk=K1。(也就是说,由于我们不使用,因此我们无需尝试找出d K可以做什么。)dK


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我细节断言:“这释放了四个自由度(各在两个边界区域两个约束)”在一个示例ξ 1ξ 2。相关的间隔] - ξ 12ξ1,ξ2 ] ξ 1ξ 2 [ ] ξ 2+ [(所以有 || = 3个时间间隔和 || - 1 = 2],ξ1[]ξ1,ξ2[]ξ2,+[|I|=3|I|1=2 结)。

对于(普通)三次样条

没有规律性约束,我们有方程式:4|I|=12

1(X<ξ1)  ;  1(X<ξ1)X  ;  1(X<ξ1)X2  ;  1(X<ξ1)X3  ;
1ξ 2X ; 1ξ 2X X ; 1ξ 2X X 2 ; 1ξ 2X X 3
1(ξ1X<ξ2)  ;  1(ξ1X<ξ2)X  ;  1(ξ1X<ξ2)X2  ;  1(ξ1X<ξ2)X3  ;
1(ξ2X)  ;  1(ξ2X)X  ;  1(ξ2X)X2  ;  1(ξ2X)X3.

Crr=2(r+1)×(|I|1)=3×(|I|1)=6

126=6

对于自然三次样条

自然的三次样条曲线会增加其他约束,即该函数在边界结之外是线性的。”

4|I|4=12442

1(X<ξ1)  ;  1(X<ξ1)X  ;  
1(ξ1X<ξ2)  ;  1(ξ1X<ξ2)X  ;  1(ξ1X<ξ2)X2  ;  1(ξ1X<ξ2)X3  ;
1(ξ2X)  ;  1(ξ2X)X.

The constraints are the same as before, so we still need to add 3×(|I|1)=6 constraints on the linear coefficients.

We end up with 86=2 degree of freedom.

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