从均匀分布到指数分布，反之亦然

这可能是一个琐碎的问题，但是到目前为止，我的搜索仍然没有结果，包括这篇Wikipedia文章和“分发纲要” 文档。

如果具有均匀分布，是否意味着遵循指数分布？Ë $X$$e^X$

同样，如果遵循指数分布，是否表示遵循均匀分布？升Ñ （Ý $Y$$ln(Y)$

对均匀随机变量取幂不会给出指数，对指数随机变量的对数取幂也不会得到均匀。

令在上是均匀的，并令。（0 ，1 ）X = EXP （Û $U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

因此。$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

这不是指数变量。类似的计算表明，指数的对数不一致。

令为标准指数，因此。˚F ÿ（Ý ）= P （Ý ≤ Ý ）= 1 - ë - $Y$$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

令。然后。˚F V（v ）= P （V ≤ v ）= P （LN Ý ≤ v ）= P （Ý ≤ Ë v）= 1 - ë - ë $V=\ln Y$$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

这不是制服。（实际上，是Gumbel分布的随机变量，因此您可以将的分布称为“翻转的Gumbel”。）$-V$$V$

但是，在每种情况下，我们只需考虑随机变量的界限即可更快地看到它。如果是Uniform（0,1），则它位于0到1之间，因此位于到之间...因此它不是指数的。类似地，对于指数，处于，因此既不能是均匀的（0,1），也不能是任何其他均匀的。X = EXP （Û ）1 Ë Ý LN ý （- ∞ ，∞ $U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

我们还可以进行模拟，然后再次看到它：

首先，对制服求幂-

[蓝色曲线是我们在上面计算出的密度（在指定间隔处为1 / x）...]

第二，指数的对数：

我们看到的远非统一！（如果我们区分之前计算出的cdf，可以得出密度，则它与我们在此处看到的形状匹配。）

的确，逆cdf方法表明，取统一（0,1）变量的对数的负值可得出标准指数变量，反之，对标准指数的负数取幂可得到一个均匀值。[另见概率积分变换 ]

此方法告诉我们，如果，则。如果我们将cdf的倒数作为标准统一的变换来应用，则所得的随机变量具有分布函数。$U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

如果我们让是均匀的（0,1），则。令。（请注意，在（0,1）上也是统一的，因此您实际上可以让，但是这里我们完全遵循cdf逆方法）$U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

然后，这是标准指数的cdf。$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[ cdf 逆变换的这一特性是为什么实际上需要变换才能获得指数分布，而概率积分变换是为什么对负指数的负数求幂的结果变得均匀。]$\log$

您几乎把它放回了前面。您问：

• “如果具有均匀分布，是否表示遵循指数分布？”$X$$e^X$

• “类似地，如果遵循指数分布，是否表示遵循均匀分布？”$Y$$\ln(Y)$

事实上

• 如果在上是均匀的，则遵循参数的指数分布$X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• 如果遵循参数的指数分布，则在上具有均匀分布。1 ë - ÿ [ 0 ，1 $Y$$1$$e^{-Y}$$[0,1]$

一般来说，您可以说：

• 如果在上是均匀则遵循速率参数为的指数分布[ a ，b ] − $X$$[a,b]$$-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$$k$
• 如果遵循带速率参数的指数分布，则在上具有均匀分布，而在上具有均匀分布ķ ë - ķ ÿ [ 0 ，1 ] 一个+ （b - 一个）ë - ķ ÿ [ 一，b $Y$$k$$e^{-kY}$$[0,1]$$a+(b-a)e^{-kY}$$[a,b]$