Markov，Chebyshev不等式严密的随机变量

我对构造Markov或Chebyshev不等式严密的随机变量感兴趣。

一个简单的示例是以下随机变量。

。其均值为0，方差为1，并且 P （| X | ≥ 1 ）= 1。对于这个随机变量，chebyshev是紧的（保持相等）。$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

是否存在马尔可夫和切比雪夫紧的其他有趣（非均匀）随机变量？一些例子将是很好的。

切比雪夫（Chebyshev）界的极限情况所适用的分布类别是众所周知的（并非很难猜测）。归一化的位置和规模是

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

这（按比例）是Wikipedia页面上针对Chebyshev不等式的解决方案。

[您可以编写一个分布序列（通过放置 严格满足不等式在中心 ϵ > 0的概率更大，并且从端点处均匀地去除该概率），并根据需要尽可能接近限制情况。]$\epsilon>0$

任何其他解决方案都可以通过其位置和尺度位移获得：令。$X=\mu+\sigma Z$

对于马尔可夫不等式，令这样你就具有概率1 - 1 / ķ 2在0和1 / ķ 2在$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$。（一个人可以在此处引入比例参数，但不能引入位置参数）$k$

矩不等式-以及实际上许多其他类似的不等式-往往具有离散分布作为其极限情况。

我相信，要完全按照切比雪夫的界线在整个实轴上进行连续分布可能是不可能的。

$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$

$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$因为它涉及具有渐近对数行为的积分。

$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$