余弦相似度，皮尔逊相关度和z得分之间是否有任何关系？

我想知道这三项措施之间是否有任何关系。我似乎无法通过引用定义在它们之间建立联系（可能是因为我是这些定义的新手，并且在掌握它们时花了一些时间）。

我知道余弦相似度的范围可以是0-1，并且皮尔逊相关性的范围可以是-1到1，并且我不确定z得分的范围。

但是，我不知道余弦相似度的某个值如何告诉您有关皮尔逊相关性或z分数的信息，反之亦然？

correlation z-score cosine-similarity

z得分是多少？某些事物的z分数可能与Pearson相关性相关，其他事物的Z分数可能不相关。例如，如果您在内部对原始变量进行标准化，则x和y之间的Pearson相关性就是其z分数的预期乘积。或者你可能在谈论z分数的皮尔逊相关性（皮尔森相关减去一些情况下，他们的期望全部由Pearson相关系数的标准误差分），这肯定会涉及到Pearson相关。

— Glen_b-恢复莫妮卡

直接关系：stats.stackexchange.com/a/22520/3277

— ttnphns

$a$ $b$

\cos θ = \frac{一种 \cdot b}{‖ 一种 ‖ ‖ b ‖}

$\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\lVert{a}\rVert \, \lVert{b}\rVert}$

对于向量，“ -score”向量通常定义为，其中和是的均值和标准差。因此均值为0，标准差为1，即是的标准化版本。 $x$ $z$

z = \frac{x - \bar{x}}{s_{x}}

$z=\frac{x-\bar{x}}{s_x}$

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_ix_i$

s_{x}^{2} = \bar{(x - \bar{x})^{2}}

$s_x^2=\overline{(x-\bar{x})^2}$

x

$x$

z

$z$

z_{x}

$z_x$

x

$x$

对于两个向量和，它们的相关系数为 $x$ $y$

ρ_{x, y} = \bar{(z_{x} z_{y})}

$\rho_{x,y}=\overline{(z_xz_y)}$

现在，如果向量均值为零，则其方差将为，因此其单位向量和z得分将与相关 $a$ $s_a^2=\frac{1}{n}\lVert{a}\rVert^2$

\hat{a} = \frac{a}{‖ a ‖} = \frac{z_{a}}{\sqrt{n}}

$\hat{a}=\frac{a}{\lVert{a}\rVert}=\frac{z_a}{\sqrt n}$

因此，如果向量和居中（即均值为零），则它们的余弦相似度将与其相关系数相同。 $a$ $b$

TL; DR余弦相似度是单位向量的点积。皮尔逊相关系数是中心向量之间的余弦相似度。向量的“ Z分数变换”是定心为范数的居中向量。 $\sqrt n$

— GeoMatt22
source

+1。latexnazi评论：\|通常看起来比更好||，并且\lVert ... \rVert是编写它的最佳方法。

— 变形虫说莫妮卡（Monica）恢复