Beta分布的两个分位数是否确定其参数？

如果我在开放时间间隔给出了两个分位数及其对应的位置（每个，我是否总能找到在指定位置具有那些分位数的beta分布的参数？（q 1，q 2）（升1，升2）（0 ，1 $(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

如果数据满足明显的一致性要求，答案是肯定的。该参数很简单，基于简单的构造，但是需要进行一些设置。这可以归结为一个直观上吸引人的事实：对于更大的x而言，增大Beta （a ，b ）分布中的参数$a$增大其密度（PDF）的值，而不是较小的x；而增加b则相反：x越小，PDF的值增加越大。$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

详细信息如下。

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令期望的$q_1$分位数为$x_1$，期望的$q_2$分位数为$x_2$其中$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$且（因此）$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$。然后是唯一的$a$和$b$，其Beta $(a,b)$分布具有这些分位数。

证明这一点的困难在于Beta分布涉及顽固归一化常数。回忆一下定义：对于$a\gt 0$和$b \gt 0$，Beta $(a,b)$分布具有密度函数（PDF）

$$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$

归一化常数是Beta函数

$$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

如果我们尝试直接相对于a和b区分f （x ; a ，b ）$f(x;a,b)$一切都会变得混乱，这将是尝试演示的蛮力方式。$a$$b$

避免必须分析Beta函数的一种方法是，注意分位数是相对面积。 那是，

$$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$$

对于$i=1,2$。这里，例如，是PDF和累积分布函数（CDF）$F$一个测试的$(1.15, 0.57)$分布其中$x_1=1/3$和$q_1=1/6$。

左侧绘制了密度函数$x\to f(x;a,b)$。 $q_1$是x 1左侧曲线下方的面积，以红色显示，相对于曲线下方的总面积。 q 2是x 2左侧的面积，等于红色和蓝色区域的总和，再次相对于总面积。右边的CDF显示（x 1，q 1）和（x 2$x_1$$q_2$$x_2$$(x_1,q_1)$$(x_2,q_2)$在其上标记两个不同的点。

在该图中，$(x_1,q_1)$固定在$(1/3,1/6)$，$a$被选择为$1.15$，然后的值$b$被发现的该$(x_1,q_1)$位于上Beta $(a,b)$ CDF。

引理：总是可以找到这样的$b$。

具体而言，使$(x_1, q_1)$一劳永逸。（在以下插图中，它们保持不变：在所有三种情况下，$x_1$左侧的相对面积均等于$q_1$）对于任何$a\gt 0$，引理声称存在唯一的$b$值，用$b(a),$其中$x_1$是Beta （a ，b （a ））的$q_1$分位数$(a,b(a))$ 分配。

要了解原因，首先请注意，当$b$接近零时，所有概率都在$0$值附近堆积，而$F(x_1;a,b)$接近$1$。当$b$接近无穷大时，所有概率都在值$1$附近堆积，因此$F(x_1;a,b)$接近$0$。在这两者之间，函数 $b\to F(x_1;a,b)$严格增加$b$。

这种说法在几何上是显而易见的：这等于说，如果我们看一下曲线下的左侧区域$x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ 相对于曲线下的总面积，并将其与曲线下的相对面积$x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$为$b^\prime \gt b$，那么后者面积相对较大。这两个函数的比率为$(1-x)^{b^\prime-b}$。这是一个函数等于$1$时$x=0,$稳步下降到$0$时$x=1.$ 因此的功能的高度$x\to f(x;a,b^\prime)$是相对较大的比的高度$x\to f(x;a,b)$对于$x$的左边$x_1$比他们的$x$向右侧$x_1.$ 因此，前者中 x 1左侧的区域必须相对大于 x 1右侧的区域。 （例如，这很容易使用黎曼和转化为严格的论点。）$x_1$$x_1.$

我们已经看到，函数$b\to f(x_1;a,b)$严格单调递增，极限值为$0$和$1$，分别为$b\to 0$和$b\to\infty,$。它也是（显然）是连续的。因此，存在一个数$b(a)$，其中$f(x_1;a,b(a))=q_1$ 这个数字是唯一的，证明了引理。

同一论点表明，随着$b$增加，$x_2$左侧的面积也增加。 因此值$f(x_2;a, b(a))$范围以上的数字的一些时间间隔为$a$从几乎进展$0$至几乎$\infty.$$f(x_2;a,b(a))$为$a\to 0$ 的极限是$q_1.$

这是一个$a$接近$0$（等于$0.1$）的示例。与$x_1=1/3$和$q_1=1/6$（如前面的图），$b(a) \approx 0.02.$$x_1$和x 2 之间几乎没有区域：$x_2:$

CDF实际上在$x_1$和$x_2,$之间是平坦的，而$q_2$实际上在$q_1.$顶部。 极限为$a\to 0$，$q_2 \to q_1.$

在另一个极端，足够大的值的$a$导致$F(x_2;a,b(a))$任意地接近$1.$ 下面是一个例子$(x_1,q_1)$如前。

这里$a=8$，$b(a)$接近$10.$ 现在$F(x_2;a,b(a))$本质上是$1:$x 2的右边几乎没有面积。$x_2.$

因此，您可以选择q 1和1之间的任意 $q_2$并调整a直到F （x 2 ; a ，a （b ））= q 2。 正如之前，这一个必须是唯一的，QED。$q_1$$1$$a$$F(x_2;a,a(b))=q_2.$$a$

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R查找解决方案的工作代码发布在从两个任意点（分位数）确定beta分布参数α和$\alpha$$\beta$。