如果我有RV对数的期望值，是否可以获得RV本身的期望值？

9

假设给出了，我可以导出封闭格式的吗？ $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— 西奥登
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您知道对数x或x 的分布吗？例如。是被

x

$x$ 正态分布？在

x

$x$ 遵循某种任意分布的最一般情况下，您将不能说太多。

— 马修·冈恩

否。仅给出log（x）的平均值。

— Theoden

10

由于Jensen不等式，您几乎只能说

。

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— 马修·冈恩

Answers:

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没有。

例如，如果遵循对数正态分布，其中，则且独立于。但是，其平均值为。显然，您不能从独立数得出相关数。 $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— 詹伯利
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这说得通。那我需要更多信息。

— Theoden

4

或以超简单示例为例，考虑离散随机变量X（以概率1/3取值1，概率2/3取10）和Y（以概率2/3取值1，概率1/3取100）。。然后E [log X] = E [log Y] = 1/3（或者其他一些数字，如果您希望对数采用比10更明智的底数，但由于在任何基本对数100 = 2 log 10中仍然相等）。但是E [X]！= E [Y]。

— 史蒂夫·杰索普

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