雅可比因子导致的不同概率密度变换

在Bishop的模式识别和机器学习中，在引入概率密度之后，我读了以下内容： $p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$

在变量的非线性变化下，由于雅可比因子，概率密度与简单函数的变换不同。例如，如果我们考虑变量，则函数变为。现在考虑相对于新变量对应于密度的概率密度，其中满足表示和是不同密度的事实。观测落在范围将用于的小值，被变换成的范围内 $x = g(y)$ $f(x)$ $\tilde{f}(y) = f(g(y))$ $p_x(x)$ $p_y(y)$ $y$ $p_x(x)$ $p_y(y)$ $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y$ ），其中 $p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$ ，因此 $p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$ 。

雅可比因子是什么？所有事物的确切含义（可能是定性）是什么？Bishop说，此属性的结果是，概率密度最大值的概念取决于变量的选择。这是什么意思？

对我来说，这有点出乎意料（考虑在介绍章节中）。我会感谢一些提示，谢谢！

machine-learning probability

— STE
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“对变换后的变量的密度进行直观的解释”可能会有所帮助。关于“雅各布”，请搜索我们的网站。

— ub

有关雅可比因子的详细说明，请参阅可汗学院关于雅可比行列式的视频教程。khanacademy.org/math/multivariable-calculus/…–

— JStrahl

我建议您阅读问题1.4的解决方案，它提供了很好的直觉。

简而言之，如果您有一个任意函数以及两个变量和，它们通过函数相互关联，则可以通过直接分析来找到函数的最大值：或经变换的函数：。毫不奇怪，和将彼此相关，因为（这里我假设。 $f(x)$ $x$ $y$ $x = g(y)$ $f(x)$ $\hat{x} = argmax_x(f(x))$ $f(g(y))$ $\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$ $\hat{x}$ $\hat{y}$ $\hat{x} = g(\hat{y})$ $\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$

概率分布不是这种情况。如果您具有概率分布和两个随机变量，它们之间的相互关系为。那么和之间没有直接关系。这是由于Jacobian因子而发生的，Jacobian因子显示了如何通过类的函数相对地改变体积。 $p_x(x)$ $x=g(y)$ $\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$ $\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$ $g(.)$

— 马吉德
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