使用通用优化器复制glmnet线性回归的结果

如标题所示，我正在尝试使用来自library的LBFGS优化器从g​​lmnet linear复制结果lbfgs。只要我们的目标函数（没有L1正则化项）是凸的，此优化器就可以让我们添加L1正则化项，而不必担心可微性。

glmnet纸中的弹性净线性回归问题由 其中X \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times p}是设计矩阵，y \ in \ mathbb {R} ^ p是观测向量，\ alpha \ in [0,1]是弹性网参数，而\ lambda> 0是正则化参数。运算符\ Vert x \ Vert_p表示通常的Lp范数。 X∈[RÑ×pý∈[Rpα∈[0，1]λ>0‖X‖

$$\min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \frac{1}{2n}\Vert \beta_0 + X\beta - y \Vert_2^2 + \alpha \lambda \Vert \beta\Vert_1 + \frac{1}{2}(1-\alpha)\lambda\Vert\beta\Vert^2_2$$ $X \in \mathbb{R}^{n \times p}$$y \in \mathbb{R}^p$$\alpha \in [0,1]$$\lambda > 0$$\Vert x \Vert_p$

下面的代码定义了该函数，然后包括一个测试以比较结果。正如您所看到的，当时的结果是可以接受的alpha = 1，但对于的值而言却相去甚远alpha < 1.。误差随着从alpha = 1到的增加而变得更糟alpha = 0，如下图所示（“比较指标”是glmnet参数估计之间的平均欧几里得距离和给定正则化路径的lbfgs）。

好的，这是代码。我尽可能添加了评论。我的问题是：为什么我的结果与的glmnet值不同alpha < 1？显然，它与L2正则化术语有关，但是据我所知，我已经按照本文的描述实施了该术语。任何帮助将非常感激！

library(lbfgs)
linreg_lbfgs <- function(X, y, alpha = 1, scale = TRUE, lambda) {
  p <- ncol(X) + 1; n <- nrow(X); nlambda <- length(lambda)

  # Scale design matrix
  if (scale) {
    means <- colMeans(X)
    sds <- apply(X, 2, sd)
    sX <- (X - tcrossprod(rep(1,n), means) ) / tcrossprod(rep(1,n), sds)
  } else {
    means <- rep(0,p-1)
    sds <- rep(1,p-1)
    sX <- X
  }
  X_ <- cbind(1, sX)

  # loss function for ridge regression (Sum of squared errors plus l2 penalty)
  SSE <- function(Beta, X, y, lambda0, alpha) {
    1/2 * (sum((X%*%Beta - y)^2) / length(y)) +
      1/2 * (1 - alpha) * lambda0 * sum(Beta[2:length(Beta)]^2) 
                    # l2 regularization (note intercept is excluded)
  }

  # loss function gradient
  SSE_gr <- function(Beta, X, y, lambda0, alpha) {
    colSums(tcrossprod(X%*%Beta - y, rep(1,ncol(X))) *X) / length(y) + # SSE grad
  (1-alpha) * lambda0 * c(0, Beta[2:length(Beta)]) # l2 reg grad
  }

  # matrix of parameters
  Betamat_scaled <- matrix(nrow=p, ncol = nlambda)

  # initial value for Beta
  Beta_init <- c(mean(y), rep(0,p-1)) 

  # parameter estimate for max lambda
  Betamat_scaled[,1] <- lbfgs(call_eval = SSE, call_grad = SSE_gr, vars = Beta_init, 
                              X = X_, y = y, lambda0 = lambda[2], alpha = alpha,
                              orthantwise_c = alpha*lambda[2], orthantwise_start = 1, 
                              invisible = TRUE)$par

  # parameter estimates for rest of lambdas (using warm starts)
  if (nlambda > 1) {
    for (j in 2:nlambda) {
      Betamat_scaled[,j] <- lbfgs(call_eval = SSE, call_grad = SSE_gr, vars = Betamat_scaled[,j-1], 
                                  X = X_, y = y, lambda0 = lambda[j], alpha = alpha,
                                  orthantwise_c = alpha*lambda[j], orthantwise_start = 1, 
                                  invisible = TRUE)$par
    }
  }

  # rescale Betas if required
  if (scale) {
    Betamat <- rbind(Betamat_scaled[1,] -
colSums(Betamat_scaled[-1,]*tcrossprod(means, rep(1,nlambda)) / tcrossprod(sds, rep(1,nlambda)) ), Betamat_scaled[-1,] / tcrossprod(sds, rep(1,nlambda)) )
  } else {
    Betamat <- Betamat_scaled
  }
  colnames(Betamat) <- lambda
  return (Betamat)
}

# CODE FOR TESTING
# simulate some linear regression data
n <- 100
p <- 5
X <- matrix(rnorm(n*p),n,p)
true_Beta <- sample(seq(0,9),p+1,replace = TRUE)
y <- drop(cbind(1,X) %*% true_Beta)

library(glmnet)

# function to compare glmnet vs lbfgs for a given alpha
glmnet_compare <- function(X, y, alpha) {
  m_glmnet <- glmnet(X, y, nlambda = 5, lambda.min.ratio = 1e-4, alpha = alpha)
  Beta1 <- coef(m_glmnet)
  Beta2 <- linreg_lbfgs(X, y, alpha = alpha, scale = TRUE, lambda = m_glmnet$lambda)
  # mean Euclidean distance between glmnet and lbfgs results
  mean(apply (Beta1 - Beta2, 2, function(x) sqrt(sum(x^2))) ) 
}

# compare results
alpha_seq <- seq(0,1,0.2)
plot(alpha_seq, sapply(alpha_seq, function(alpha) glmnet_compare(X,y,alpha)), type = "l", ylab = "Comparison metric")

---

@ hxd1011我尝试了您的代码，这是一些测试（我做了一些细微的调整以匹配glmnet的结构-请注意，我们没有对拦截项进行正则化，并且必须对损失函数进行缩放）。这是针对alpha = 0，但您可以尝试任何一种alpha-结果不匹配。

rm(list=ls())
set.seed(0)
# simulate some linear regression data
n <- 1e3
p <- 20
x <- matrix(rnorm(n*p),n,p)
true_Beta <- sample(seq(0,9),p+1,replace = TRUE)
y <- drop(cbind(1,x) %*% true_Beta)

library(glmnet)
alpha = 0

m_glmnet = glmnet(x, y, alpha = alpha, nlambda = 5)

# linear regression loss and gradient
lr_loss<-function(w,lambda1,lambda2){
  e=cbind(1,x) %*% w -y
  v= 1/(2*n) * (t(e) %*% e) + lambda1 * sum(abs(w[2:(p+1)])) + lambda2/2 * crossprod(w[2:(p+1)])
  return(as.numeric(v))
}

lr_loss_gr<-function(w,lambda1,lambda2){
  e=cbind(1,x) %*% w -y
  v= 1/n * (t(cbind(1,x)) %*% e) + c(0, lambda1*sign(w[2:(p+1)]) + lambda2*w[2:(p+1)])
  return(as.numeric(v))
}

outmat <- do.call(cbind, lapply(m_glmnet$lambda, function(lambda) 
  optim(rnorm(p+1),lr_loss,lr_loss_gr,lambda1=alpha*lambda,lambda2=(1-alpha)*lambda,method="L-BFGS")$par
))

glmnet_coef <- coef(m_glmnet)
apply(outmat - glmnet_coef, 2, function(x) sqrt(sum(x^2)))

tl; dr版本：

该目标隐式包含比例因子，其中是样本标准偏差。$\hat{s} = sd(y)$$sd(y)$

较长的版本

如果您阅读了glmnet文档的精美印刷，您将看到：

请注意，“高斯”的目标函数为

               1/2  RSS/nobs + lambda*penalty,                  

对于其他型号，它是

               -loglik/nobs + lambda*penalty.                   

还要注意，对于“高斯”，“ glmnet”在计算其lambda序列之前将y标准化为具有单位方差（然后对所得系数进行非标准化）；如果您想与其他软件重现/比较结果，最好提供标准化的y。

现在这意味着目标实际上是 而glmnet报告。

$$\frac{1}{2n} \lVert y/\hat{s}-X\beta \rVert_2^2 + \lambda\alpha \lVert \beta \rVert_1 + \lambda(1-\alpha)\lVert \beta \rVert_2^2,$$ $\tilde{\beta} = \hat{s} \beta$

现在，当您使用纯套索（）时，glmnet的的非标准化意味着答案是等效的。另一方面，对于纯脊，您需要将损失的比例缩放为，以使路径一致，因为平方中会弹出一个额外的在罚款中。对于中间，没有一种简单的方法可以缩放系数的损失来再现输出。〜β 1 / $\alpha=1$$\tilde{\beta}$$1/\hat{s}$glmnet ℓ2$\hat{s}$$\ell_2$$\alpha$glmnets

将缩放为具有单位方差后，我发现 $y$

仍然不完全匹配。这似乎是由于两件事：

1. 对于热启动循环坐标下降算法，lambda序列可能太短而无法完全收敛。
2. 您的数据中没有错误项（回归的为1）。$R^2$
3. 请注意，所提供的代码中存在一个错误，该错误lambda[2]用于初始拟合，但应该是lambda[1]。

纠正项目1-3后，我将得到以下结果（尽管YMMV取决于随机种子）：