Benjamini-Hochberg调整后的p值的公式是什么？

我了解该程序及其控制的内容。那么在BH程序中用于多次比较的调整后的p值的公式是什么？

刚才我意识到原始的BH不会产生调整后的p值，只是调整了（非）拒绝条件：https : //www.jstor.org/stable/2346101。无论如何，戈登·史密斯（Gordon Smyth）还是在2002年引入了调整后的BH p值，因此该问题仍然适用。p.adjust与method 一样在R中实现BH。

— 萤火虫
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Answers:

著名的开创性的Benjamini＆Hochberg（1995）论文描述了基于调整α水平来接受/拒绝假设的程序。此过程在调整后的方面具有直接等效的重新表示形式，但原始论文中未对此进行讨论。根据Gordon Smyth的介绍，他在2002年在R中实现时引入了调整后的。不幸的是，没有相应的引文，因此我一直不清楚如果使用BH调整后的应该引用什么。 $p$ $p$ p.adjust $p$

事实证明，该程序在Benjamini，Heller，Yekutieli（2009）中进行了描述：

表示此过程结果的另一种方法是显示调整后的。经过BH调整的定义为 $p$ $p$
$p_{(i)}^{B H} = min {min_{j \geq i} {\frac{m p_{(j)}}{j}}, 1} .$ $p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$

这个公式看起来比实际要复杂。它说：

首先，将所有从小到大排序。然后将每个值乘以测试总数，再除以其排名顺序。 $p$ $p$ $m$
其次，确保结果序列是不递减的：如果它开始减少，则使前一个值等于后继的值（重复，直到整个序列不递减）。 $p$
如果任何值最终大于1，则使其等于1。 $p$

这是对1995年以来原始BH程序的直接重新表述。可能存在较早的论文，其中明确介绍了BH调整后的的概念，但我不知道。 $p$

更新。@Zenit发现Yekutieli＆Benjamini（1999）描述了早在1999年的同一件事：

— 变形虫说恢复莫妮卡
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这就是我期望的答案，+ 1。我记得还读过有关Gordon Smyth调整后的p值的实现，并且不知道该引用谁，很高兴看到对此有一个“经典”的引用。

— Firebug

我相信甚至存在更早的参考文献：Yekutieli和Benjamini（1999）（可在此处找到pdf版本）。定义2.4描述了如何根据调整后的p值改写原始的1995 FDR程序。归功于我在此找到的这篇博客文章。

— 泽尼特

@Zenit哦，哇！很棒的发现！我应该更新我的答案。

— 变形虫说恢复莫妮卡

感谢来源@Zenit！这种无处不在的统计方法没有众所周知的参考文献，这有点奇怪。

— Firebug

首先一个要点答案。考虑到是与测试统计量的值关联的（单个测试）值。Benjamini-Hochberg FDR分两步计算（ =＃pvalues， =＃pvalues）： $p_0$ $p$ $z_0$ $N_0$ $\le$ $p_0$ $N$

$\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$
$\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

现在让我们了解一下。贝叶斯的基本思想是观察来自两种分布的混合：

$\pi_0 \: N$ 来自零密度观测值 $f_0(z)$
$(1-\pi_0) \: N$ 来自替代密度观测。 $f_1(z)$

观察到的是这两者的混合：

$f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

（贝叶斯）定义是：

$\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$ （部分尾部区域）
$\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$ （尾部密度的一部分）

如下所示，当时，Fdr相当于Benjamini hocherg FDR （大多数生物信息学研究就是这种情况） $\pi_0 \approx 1$

（基于Efron和Tibshirani的计算机时代统计推断）

— 阿迪亚
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