什么是随机变量的样本？

随机变量被定义为从具有基础度量一个代数到另一个代数的可测量函数。$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

我们如何谈论这个随机变量的样本？我们是否将其视为的元素？还是与具有相同的可测量功能？$X^n$$\Omega_2$$X$

我在哪里可以了解更多信息？

例：

在蒙特卡洛估计中，我们通过将样本作为函数来证明估计量的无偏性。如果将随机变量的期望定义为$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

并假设是函数并且，我们可以进行如下操作：$X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

如果只是一个元素，我们就不可能写出最后一组方程。$X^n$$\Omega_2$

样本是从到的可测量函数。该示例的实现是该函数在处取的值，。$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

陈述时

假设是函数并且$X^n$$X^n=X$

函数都是不同的函数，这意味着图像对于给定的可能不同。当样本为iid（独立且均等分布）时，函数有所不同，具有另外两个属性$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. 同分布的，这意味着为所有可测量集在 ;$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. 独立性，即对所有测集在$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

您的定义

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

不正确：应该是

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

可以从总体中抽取样本，而不是从随机变量中抽取样本。“随机变量的样本”是一种简化的说法，即我们有一个从总体中抽取的样本，我们假设是相同分布的随机变量。因此，此类样本的行为类似于随机变量。这是模棱两可的，因为它混合了概率和统计中使用的术语。与仿真相同，从共同分布中抽取样本。在这两种情况下，样本都是数据n $n$$n$$n$你有。样本被视为随机变量，因为随机过程导致绘制它们。由于它们来自共同分布，因此它们的分布相同。为了处理样本，我们有统计数据，而统计数据则根据概率论对问题进行抽象的数学描述，因此术语混为一谈。随机变量是将概率分配给样本中可能遇到的事件的函数。