推导概率密度函数变量的变化？

在书本模式识别和机器学习（公式1.27）中，

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ 其中$x=g(y)$，$p_x(x)$，是pdf对应于$p_y(y)$相对于所述变量的变化。

这些书说，这是因为在观察范围内的下降$(x, x + \delta x)$会，为小值$\delta x$，转化为范围$(y, y + \delta y)$。

这是如何正式得出的？

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来自Dilip Sarwate的更新

仅当$g$是严格单调递增或递减函数时，结果才成立。

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一些小修改以LV Rao的答案 因此，如果

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$是单调递增的 ˚F Ý（Ý ）= ˚F X（克- 1（Ý ））⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ 如果单调递减 ˚Fý（Ý）=1-˚FX（克-1（Ý））˚FÝ（Ý）=-˚FX（克-1（Ý））⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $Y$ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$