推导概率密度函数变量的变化?


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在书本模式识别和机器学习(公式1.27)中,

pÿÿ=pXX|dXdÿ|=pXGÿ|Gÿ|
其中x=g(y)px(x),是pdf对应于py(y)相对于所述变量的变化。

这些书说,这是因为在观察范围内的下降(x,x+δx)会,为小值δx,转化为范围(y,y+δy)

这是如何正式得出的?


来自Dilip Sarwate的更新

仅当G是严格单调递增或递减函数时,结果才成立。


一些小修改以LV Rao的答案 因此,如果g

Pÿÿ=PGXÿ={PXG-1ÿ如果 G 单调增加PXG-1ÿ如果 G 单调递减
G是单调递增的 ˚F ÝÝ = ˚F X- 1Ý d
Fÿÿ=FXG-1ÿ
如果单调递减 ˚FýÝ=1-˚FX-1Ý˚FÝÝ=-˚FX-1Ýd
Fÿÿ=FXG-1ÿddÿG-1ÿ
Fÿÿ=1-FXG-1ÿ
Fÿÿ=-FXG-1ÿddÿG-1ÿ
Fÿÿ=FXG-1ÿ|ddÿG-1ÿ|

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GG

您的书的解释让人想起我在stats.stackexchange.com/a/14490/919上提供的解释。我还张贴在一般代数方法stats.stackexchange.com/a/101298/919并以几何的解释stats.stackexchange.com/a/4223/919
ub

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@DilipSarwate感谢您的解释,我想我理解了这种直觉,但我对使用现有规则和定理如何推导它更感兴趣:)
dontloo

Answers:


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Xpdfÿ=GXpdfÿ

Pÿÿ=PGXÿ=PXG-1ÿØ[RFÿÿ=FXG-1ÿ根据CDF的定义
ÿÿÿ
Fÿÿ=FXG-1ÿddÿG-1ÿ
ÿ
Fÿÿ=-FXG-1ÿddÿG-1ÿ
Fÿÿ=FXG-1ÿ|ddÿG-1ÿ|

但是,由于fx上的积分必须为1且fy是fx的缩放版本,这是否意味着fy不是适当的pdf,除非abs()中的jacobian为1或-1?
克里斯(Chris)

G-1
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