经验CDF与CDF

我正在学习经验累积分布函数。但是我还是不明白

1. 为什么称其为“经验的”？

2. 经验CDF和CDF有什么区别？

令$X$为随机变量。

• 累积分布函数$F(x)$给出了$P(X \leq x)$。
• 经验累积分布函数函数$G(x)$给出$P(X \leq x)$根据你的样品中观测。

区别在于使用了哪种概率测度。对于经验CDF，您可以使用由经验样本中的频率计数定义的概率度量。

简单示例（硬币翻转）：

令$X$为随机变量，表示单次掷硬币的结果，其中$X=1$表示正面，$X=0$表示背面。

：一个公平的硬币CDF由下式给出

$$F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{1}{2} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

如果翻转2头和1尾，经验CDF将为：

$$G(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } x < 0\\ \frac{2}{3} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\1 & \text{for } 1 \leq x \end{array} \right.$$

实证CDF会反映你的样品中，$2/3$的空翻是头。

另一个示例（对于正常分布，$F$为CDF）：

令$X$为均值为$0$，标准差为$1$的正态分布随机变量。

CDF由下式给出：

$$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$$

$x_1 < x_2 < x_3$

$$G(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for } y < x_1\\ \frac{1}{3} & \text{for } x_1 \leq y < x_2 \\\frac{2}{3} & \text{for } x_2 \leq y < x_3 \\1 & \text{for } x_3 \leq y \end{array} \right.$$

如果有足够的IID抽取（并且满足一定的规律性条件），经验CDF将收敛于总体人口的CDF。

经验CDF和CDF有什么区别？

是的，他们不同。经验性cdf是适当的cdf，但是经验性cdf即使不从离散分布中抽取，也总是离散的，而分布的cdf可以是离散之外的其他东西。

如果将样本视为值的总体，则每个样本的概率均等（即每个观察值的概率为1 / n），则该分布的cdf将是数据的ECDF。

为什么称其为“经验的”？

它是基于样本的人口CDF的估算值；具体来说，如果您在每个不同的数据值处处理样本的比例，并像对待总体中的概率一样对待它，则会得到ECDF。

经验的含义类似于“通过观察而不是理论”，在这种情况下，这正是含义……使用观察来确定分布函数。

经验CDF是根据实际数据集构建的（在下图中，我使用了来自标准正态分布的100个样本）。CDF是一种理论构造-如果您可以无限次取样，就会发现CDF。

经验CDF通常非常接近CDF，尤其是对于大样本（实际上，有定理表明，随着样本数量的增加，CDF收敛到CDF的速度有多快）。

经验是您从数据和观察中获得的东西。例如，假设您想了解一个国家中人的身高分布情况。您首先要测量人员，然后得出可以近似于分布的直方图。然后计算经验CDF。

如果使用统计分布（确定性公式，它使用相同的参数给出完全相同的输出），则也可以计算其CDF。

您可以说：“这个国家的人口高度分布与正态分布相似，平均值为1.75 m，标准差为0.1 m。那么您可以使用〜的CDF$N(\mu=1.75\ \text{m},\sigma=0.1\ \text{m})$ 而不是经验分布的构造CDF。

根据Dictionary.com，“经验”的定义包括：

来自经验或实验或由经验或实验指导。

因此，经验CDF是您从数据中获得的CDF。这与从统计或概率模型（如正态分布）获得的理论CDF（通常称为“ CDF”）形成对比。