为什么AR（1）系数的OLS估算器有偏差？

我试图理解为什么OLS会给出AR（1）进程的有偏估计量。考虑 在此模型中，违反了严格的外生性，即和是相关的，而和是不相关的。但是，如果这是真的，那么为什么以下简单推导不成立？ ý吨ε吨ý吨-1ε吨头激动

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

正如评论中所讨论的，无偏是一个有限的样本属性，如果成立，它将表示为

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

（其中期望值是有限样本分布的第一时刻）

而一致性是表示为的渐近性质

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

OP显示，即使在这种情况下OLS存在偏差，它仍然是一致的。

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

这里没有矛盾。

@Alecos很好地解释了为什么正确的plim和unbiasedbess是不一样的。至于估计器并非无偏的根本原因，请记住，估计器的无偏性要求所有误差项的均值独立于所有回归值。$E(\epsilon|X)=0$

在当前情况下，回归矩阵由值，因此-参见mpiktas的评论-条件转换为E （ϵ s | y 1，... ，y T − 1）=所有s = 2 ，… ，T均为0。$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

在这里，我们有

即使在假设 È （ε 吨 ý 吨- 1）= 0，我们有 È （ε 吨Ý 吨）= È （ε 吨（β ý 吨- 1 + ε t））= E （ϵ 2 t）≠ 0。 但是，

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ $E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ 也是在AIN AR模型未来值的回归，如图 ÿ 吨+ 1 = β ý 吨 + ε 吨+ 1。$y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

扩展两个很好的答案。写下OLS估算器：

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

为了公正，我们需要

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$