解释R的ur.df（Dickey-Fuller单位根测试）结果

我正在使用软件包中的ur.df()功能在时间序列上运行以下单位根测试（Dickey-Fuller）urca。

该命令是：

summary(ur.df(d.Aus, type = "drift", 6))

输出为：

############################################### 
# Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
############################################### 

Test regression drift 


Call:
lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)

Residuals:
      Min        1Q    Median        3Q       Max 
-0.266372 -0.036882 -0.002716  0.036644  0.230738 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  0.001114   0.003238   0.344  0.73089   
z.lag.1     -0.010656   0.006080  -1.753  0.08031 . 
z.diff.lag1  0.071471   0.044908   1.592  0.11214   
z.diff.lag2  0.086806   0.044714   1.941  0.05279 . 
z.diff.lag3  0.029537   0.044781   0.660  0.50983   
z.diff.lag4  0.056348   0.044792   1.258  0.20899   
z.diff.lag5  0.119487   0.044949   2.658  0.00811 **
z.diff.lag6 -0.082519   0.045237  -1.824  0.06874 . 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

Residual standard error: 0.06636 on 491 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.04211,    Adjusted R-squared: 0.02845 
F-statistic: 3.083 on 7 and 491 DF,  p-value: 0.003445 


Value of test-statistic is: -1.7525 1.6091 

Critical values for test statistics: 
      1pct  5pct 10pct
tau2 -3.43 -2.86 -2.57
phi1  6.43  4.59  3.78

1. 重要性代码（信号代码）是什么意思？我注意到其中有些是针对：z.lag.1，z.diff.lag.2，z.diff.lag.3（“。”重要性代码）和z.diff.lag.5（“ **”有效码）。

2. 输出为我提供了测试统计量的两（2）个值：-1.7525和1.6091。我知道ADF测试统计数据是第一个（即-1.7525）。那第二个是什么？

3. 最后，为了在95％显着性水平上检验单位根的假设，我需要将我的ADF测试统计量（即-1.7525）与通常从表中获得的临界值进行比较。这里的输出似乎给了我关键的价值。但是，问题是：我应该使用“ tau2”和“ phi1”之间的哪个临界值。

谢谢您的答复。

似乎此特定R命令的创建者认为其中一个人熟悉原始的Dickey-Fuller公式，因此未提供有关如何解释值的相关文档。我发现Enders是一个非常有用的资源（《 Applied Econometric Time Series 3e》，2010年，第206-209页-我想其他版本也可以）。下面，我将使用URCA软件包中的数据，以丹麦的实际收入为例。

> income <- ts(denmark$LRY)

首先描述3个用于获得不同假设的Dickey-Fuller公式可能是有用的，因为它们与ur.df“类型”选项匹配。恩德斯指出，在所有这三种情况下，使用的一致项是γ，即y先前值的系数，即滞后项。如果gamma = 0，则存在单位根（随机行走，非平稳）。在原假设为gamma = 0的情况下，如果p <0.05，则我们拒绝原假设（在95％的水平），并假定没有单位根。如果我们无法拒绝零值（p> 0.05），那么我们假定存在一个单位根。从这里开始，我们可以继续解释tau和phi。

1）type =“ none”：（来自Enders第208页的公式）$\Delta y(t) = \gamma * y(t-1) + e(t)$

（其中是误差项，假定为白噪声； from；指的是前一个y的值，滞后项也是如此）$e(t)$$\gamma = a-1$$y = a*y(t-1) + e(t)$$y(t-1)$

对于type =“ none”，tau（或R输出中的tau1）是gamma = 0的零假设。使用丹麦收入示例，我得到“检验统计的值为0.7944”，而“检验统计的关键值为：tau1 -2.6 -1.95 -1.61。假设测试统计数据位于我们无法拒绝空值的所有3个区域（1％，5％，10％）内，则应假定数据是随机游动，即存在一个单位根。在这种情况下，tau1指的是gamma = 0的假设。“ z.lag1”是gamma项，即滞后项的系数（y（t-1）），即p = 0.431，我们不能否认它是有效的，只是暗示伽马对该模型没有统计学意义，这是R的输出

> summary(ur.df(y=income, type = "none",lags=1))
> 
> ############################################### 
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
> ############################################### 
> 
> Test regression none 
> 
> 
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
> 
> Residuals:
>       Min        1Q    Median        3Q       Max 
> -0.044067 -0.016747 -0.006596  0.010305  0.085688 
> 
> Coefficients:
>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> z.lag.1    0.0004636  0.0005836   0.794    0.431
> z.diff.lag 0.1724315  0.1362615   1.265    0.211
> 
> Residual standard error: 0.0251 on 51 degrees of freedom
> Multiple R-squared:  0.04696,   Adjusted R-squared:  0.009589 
> F-statistic: 1.257 on 2 and 51 DF,  p-value: 0.2933
> 
> 
> Value of test-statistic is: 0.7944 
> 
> Critical values for test statistics: 
>      1pct  5pct 10pct
> tau1 -2.6 -1.95 -1.61

2）类型=“漂移”（上面您的特定问题）：：（来自Enders的公式208页）$\Delta y(t) = a0 + \gamma * y(t-1) + e(t)$

（其中a0是“小于零”，指的是常数或漂移项）这是输出解释比较棘手的地方。“ tau2”仍然是空假设。在这种情况下，如果第一个测试统计量= -1.4462在未能拒绝null的范围内，则我们应该再次假定单位根为。$\gamma=0$$\gamma=0$
phi1项指的是第二个假设，它是a0 = gamma = 0的组合零假设。这意味着同时测试两个值均为0。如果p <0.05，则我们拒绝该空值，并假定其中至少一个是假的-即a0或gamma项之一或两个都不为0。如果不拒绝此空值，则意味着a0 AND gamma = 0，暗示1）伽马= 0，因此存在单位根，并且2）a0 = 0，因此没有漂移项。这是R输出

> summary(ur.df(y=income, type = "drift",lags=1))
> 
> ############################################### 
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
> ############################################### 
> 
> Test regression drift 
> 
> 
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
> 
> Residuals:
>       Min        1Q    Median        3Q       Max 
> -0.041910 -0.016484 -0.006994  0.013651  0.074920 
> 
> Coefficients:
>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
> (Intercept)  0.43453    0.28995   1.499    0.140
> z.lag.1     -0.07256    0.04873  -1.489    0.143
> z.diff.lag   0.22028    0.13836   1.592    0.118
> 
> Residual standard error: 0.0248 on 50 degrees of freedom
> Multiple R-squared:  0.07166,   Adjusted R-squared:  0.03452 
> F-statistic:  1.93 on 2 and 50 DF,  p-value: 0.1559
> 
> 
> Value of test-statistic is: -1.4891 1.4462 
> 
> Critical values for test statistics: 
>       1pct  5pct 10pct
> tau2 -3.51 -2.89 -2.58
> phi1  6.70  4.71  3.86

3）最后，对于type =“ trend”：（来自Enders第208页的公式）$\Delta y(t) = a0 + gamma * y(t-1) + a2(t) + e(t)$

（其中a2（t）是时间趋势项）（来自Enders第208页）的假设如下：tau：gamma = 0 phi3：gamma = a2 = 0 phi2：a0 = gamma = a2 = 0这类似于R输出。在这种情况下，测试统计信息为-2.4216 2.1927 2.9343在所有这些情况下，它们都属于“未能拒绝空值”区域的范围（请参阅下面的临界值）。如上所述，tau3的含义是我们无法拒绝单位根的null，这意味着存在单位根。不拒绝phi3意味着两件事：1）gamma = 0（单位根），以及2）没有时间趋势项，即a2 = 0。如果我们拒绝此null，则意味着这两项都不是0。未能拒绝phi2意味着3件事：1）gamma = 0 AND 2）没有时间趋势项并且3）没有漂移项，即gamma = 0，则a0 = 0，而a2 = 0。
这是R输出

> summary(ur.df(y=income, type = "trend",lags=1))
> 
> ############################################### 
> # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
> ############################################### 
> 
> Test regression trend 
> 
> 
> Call:
> lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
> 
> Residuals:
>       Min        1Q    Median        3Q       Max 
> -0.036693 -0.016457 -0.000435  0.014344  0.074299 
> 
> Coefficients:
>               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
> (Intercept)  1.0369478  0.4272693   2.427   0.0190 *
> z.lag.1     -0.1767666  0.0729961  -2.422   0.0192 *
> tt           0.0006299  0.0003348   1.881   0.0659 .
> z.diff.lag   0.2557788  0.1362896   1.877   0.0665 .
> ---
> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
> 
> Residual standard error: 0.02419 on 49 degrees of freedom
> Multiple R-squared:  0.1342,    Adjusted R-squared:  0.08117 
> F-statistic: 2.531 on 3 and 49 DF,  p-value: 0.06785
> 
> 
> Value of test-statistic is: -2.4216 2.1927 2.9343 
> 
> Critical values for test statistics: 
>       1pct  5pct 10pct
> tau3 -4.04 -3.45 -3.15
> phi2  6.50  4.88  4.16
> phi3  8.73  6.49  5.47

在上面的特定示例中，对于d.Aus数据，由于两个测试统计信息均位于“失败拒绝”区域内，因此它意味着gamma = 0和a0 = 0，这意味着存在单位根，但是无漂移项。

正如joint-p已经指出的那样，重要性代码是相当标准的，并且它们对应于p值，即假设检验的统计重要性。p值为0.01表示结论在99％的置信度内为真。

在维基百科的文章迪基-富勒介绍迪基-富勒检验的三个版本：“单位根”，“带漂移单位根”和“带漂移和确定性时间趋势的单位根”，或者是在被称为urca文档分别为type =“ none”，“ drift”和“ trend”。

这些测试中的每一个都是逐渐复杂的线性回归。所有这些都有根，但在漂移中也有漂移系数，在趋势中也有趋势系数。这些系数中的每一个都有一个相关的显着性水平。尽管根系数的重要性是DF测试的最重要和主要重点，但我们可能还想知道趋势/漂移是否在统计上也很重要。在尝试了不同的模式并查看了哪些系数在t检验中出现/消失之后，我能够轻松地识别出哪个系数对应于哪个t检验。

它们可以编写如下（从Wiki页面）：

（单位根）$\Delta y_{t} = \delta y_{t-1} + u_{t}$

（有漂移）$\Delta y_{t} = \delta y_{t-1} + a_{0} + u_{t}$

（具有趋势）$\Delta y_{t} = \delta y_{t-1} + a_{0} + a_{1}t + u_{t}$

在您的情况下，“ tau2”对应于，而“ phi1”对应于。您还将看到第三个系数出现在“趋势”测试中，该系数对应于上面第三个方程中的。但是，变量名称将在您切换到“趋势”时更改，因此请小心并确保自己动手检查。我相信在“趋势”模式下，“ tau3”对应于，“ phi2”对应于，而“ phi3”对应于。一个0一个1 δ 一个0一个$\delta$$a_{0}$$a_{1}$$\delta$$a_{0}$$a_{1}$

Roger Perman关于单元根测试的讲义中的更多信息

另请参阅《 Enders，应用计量经济时间序列》（4e）中的表4.2，该表总结了这些检验统计数据所涉及的不同假设。内容与上面提供的图像一致。

我发现Jeramy的答案很容易理解，但不断发现自己试图正确地理解逻辑并犯错误。我编写了一个R函数，该函数可以解释三种类型的模型中的每一种，并在存在不一致或不确定的结果时发出警告（如果我正确理解ADF数学，我不认为应该存在不一致，但是我仍然认为这很好检查ur.df函数是否有任何缺陷）。

请看一下。很高兴提出意见/更正/改进。

https://gist.github.com/hankroark/968fc28b767f1e43b5a33b151b771bf9

非常有趣的帖子和答案。我只是对user3096626解释的表有疑问。哪些软件在ADF检验报告输出的价值观\tau_{\alpha \mu}，\tau_{\alpha \tau}和\tau_{\beta \tau}？显然，R不

phi1 phi2 phi3等效于ADF框架中的F检验